第二章 第三节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三节　二次函数与幂函数 课标解读 1.了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况． 3．掌握二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 知识点一　幂函数 1．定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．常见的五种幂函数的图象 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义． (2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 知识点二　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 ( 单调性 在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增 在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减 最值 当x＝－时，ymin＝ 当x＝－时，ymax＝ 幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)解析式只有一项． 有关幂函数的几个结论 对于形如f(x)＝x (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，自变量满足x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处). (1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　×　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　×　　) (3)函数y＝2x是幂函数．(　　×　　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　√　　) (5)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P91 T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 答案：D 2．(北师大版必修第一册P64 T2改编)已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则m的取值范围是________. 答案：[4，＋∞) 3．(人教A版必修第一册P91 T2改编)()与()的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：()<() 4．(人教A版必修第一册P91 T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：c<b<a　解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 考点 幂函数的图象与性质(自悟通) 1.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) B　解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示).将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B. 2．已知幂函数f(x)＝(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 B　解析：因为幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，所以所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1. 3．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(　　) A．函数f(x)在定义域内为增函数 B．函数f(x)为偶函数 C．当x>1时，f(x)>1 D．当0<x1<x2时，<f() ACD　解析：由题意得4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x＝，∴函数f(x)在上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)＝>1，故C正确；由函数图象知f(x)＝为“上凸函数”，故D正确． 4．(2023·山东潍坊模拟)若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是____________． 答案：(－∞，－1)∪(，)　解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于或或解得a<－1或<a<. 幂函数图象与性质的应用 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比