第二章 第四节 第3课时 对数函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第❸课时　对数函数 课标解读 1.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点． 2．知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 知识点一　对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 知识点二　对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点三　反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 注意对数函数图象在坐标系中的分布规律：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性．因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论． (1)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)为奇函数． (2)函数f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)为奇函数． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　×　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　×　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　√　　) (4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(，－1)，函数图象只在第一、四象限．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(北师大版必修第一册P111例7改编)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 答案：A 2. (苏教版必修第一册P149 T11改编)图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，四个值，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 答案：A 3．(湘教版必修第一册P123 T19)与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的函数为(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 答案：D 4．(苏教版必修第一册P149 T4改编)函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________． 答案：(，＋∞) 考点 对数型函数图象的辨析(自悟通) 1.若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) B　解析：若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象大致如选项B中图象所示． 2．在同一个坐标系中，函数f(x)＝与g(x)＝lg 的图象可能是(　　) A　解析：由题意a>0且a≠1，所以函数g(x)＝lg 单调递减，故排除B，D；对于A，C，由函数f(x)＝的图象可知 0<a<1，对于函数g(x)＝lg ，g(1)＝lg a<0，故A正确，C错误． 研究对数型函数图象的思路 研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况． 考点 对数函数图象的应用(精研通) 【例1】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由题干函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1. (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图． 由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1. 若将本例(2)中的条件“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________． 答案：(0，]　解析：若方程4x＝loga