第二章 第七节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第七节　函数模型及其应用 课标解读 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 知识点一　几类函数模型 知识点二　三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 1．对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－ ]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．当x＞0，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. (1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． (3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　×　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　×　　) (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　×　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第一册P222例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 答案：B 2．(湘教版必修第一册P148 T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48.从数量级的角度考虑，则约为________． 答案：1093 3．(人教A版必修第一册P96 T3改编)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按3元/m3收费；用水超过10 m3的，超过的部分按5元/m3收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水________m3. 答案：15 4．(人教A版必修第一册P161 T10改编)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃.那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为(参考数据：ln 3≈1.10，ln 7≈1.95)________． 答案：0.25 考点 利用已知函数模型解决实际问题(自悟通) 1.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(参考数据：ln 19≈3)(　　) A．60 B．65 C．66 D．69 B　解析：由已知可得＝0.95K，解得e－0.23(t*－52)＝，两边取对数有－0.23(t*－52)＝－ln 19≈－3，解得t*≈65. 2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 2 500　解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝－10Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500， 所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元). 3．某市家庭煤气的使用量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2022年前三个月的煤气费如表： 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为________元. 答案：11