第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第四节　 了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率． 了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 了解条件概率与独立性的关系． 会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率． 知识梳理 1．相互独立事件 (1)概念：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 2．条件概率 (1)概念：设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． 3．全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)则对任意一个事件A有P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)，称上式为全概率公式． 学霸笔记 1．易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 2．条件概率中P(B|A)与P(A|B)不是一回事．P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率． 3．利用全概率公式解题 通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因．如若A是“次品”，B是n个车间生产的次品；若A是“某种疾病”，B是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，B有几种方式或几个人打中． (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生． (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和． (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合． 进阶诊断 1．判断正误 (1)相互独立事件就是互斥事件．(　　×　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立.(　　×　　) (3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　√　　) (4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　√　　) 2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(　　) A．互斥　　　　　　 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 答案：C 3．(教材习题改编)已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车， 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01， 则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×0.02＋×0.01＝. 4．(教材习题改编)若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是(　　) A． B． C． D． A　解析：由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝×＝. 5．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则 (1)恰有一人成功破译的概率为________； (2)密码没有被破译的概率为________． 答案：(1)　(2) 考点1　相互独立事件的概率　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2022·天津和平高三二模)已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1，2，3元).甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为(　　) A．0.18　　　　　　 B．0.3 C．0.24 D．0.36 B　解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3，0.4.所以甲、乙两人租车费用相同的概率为P＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3. 2．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立　　 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 B　解析：事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(