第十章 第六节 二项分布、超几何分布与正态分布（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第六节　 了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．了解正态分布的均值、方差及其含义． 知识梳理 1．二项分布 (1)n重伯努利试验 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)． (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)． ②若随机变量X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． 2．超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}(其中k为非负整数). 其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 3．正态分布 (1)定义 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为φμ，σ(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)，其中μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． (2)正态曲线的性质 ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称； ③曲线的最高点位于x＝μ处； ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线． (3)3σ原则 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2． 学霸笔记 1．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： (1)是否为n次独立重复试验． (2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2．关于超几何分布 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征： ①考查对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 3．对于X～N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a). 进阶诊断 1．判断正误 (1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　√　　) (2)二项分布和超几何分布都是有放回抽样．(　　×　　) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　√　　) (4)一个随机变量如果是众多互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　√　　) 2．已知X～B(20，p)，且EX＝6，则DX＝(　　) A．1.8 B．6 C．2.1 D．4.2 D　解析：因为X服从二项分布X～B(20，p)， 所以EX＝20p＝6，得p＝0.3， 故DX＝np(1－p)＝20×0.3×0.7＝4.2. 3．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　) A． B．()3× C．× D．C×()3× 答案：B 4．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________． 答案：　解析：由题意得P(X＝2)＝＝. 5．某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，25)，随机选择一名本市高二年级的男生，则P(160<X≤180)＝________． 答案：0.954 5 6．已知两个随机变量X，Y满足X＋