第十章 专题五 高考中的统计概率问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

专题五　高考中的统计概率问题 题型一　概率与频率分布直方图的交汇 (2023·山东泰安模拟)某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图． 时间区间 [9，11) [11，13) [13，15) [15，17) [17，19) [19，21] 每单收入 (单位：元) 6 5.5 6 6.4 5.5 6.5 (1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入； (2)这个外卖小哥记得在[13，15)这个时间段只有4单外卖带有饮品，现在从[13，15)这个时间段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望． 思维导引 学科素养 本题主要考查数据分析、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)先求出a的值，再求各时间段送外卖的频数，进而得总收入； (2)先确定X的值，再求其概率后写出分布列及数学期望 解：(1)由频率分布直方图得2a＝1－2×(0.05×2＋0.08×2＋0.14)＝0.2，解得a＝0.1. 又∵样本容量n＝50，∴在[9，11)这个时间段送外卖的频数为0.08×2×50＝8， 同理可求得[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]这5个时间段送外卖的频数分别为14，10，5，8，5. ∴外卖小哥送50单的收入为8×6＋14×5.5＋10×6＋5×6.4＋8×5.5＋5×6.5＝293.5(元). (2)由(1)知，在[13，15)这个时间段共送10单外卖，10单外卖中有4单带饮品，6单不带饮品， X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 频率分布直方图、条形图等是考查数据收集和整理的常用依据，掌握图中常见数据的提取方法，将频率看作概率是解决这类问题的关键． 　(2022·山东日照一模)春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20～10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20～9：40记作区间[20，40)，9：40～10：00记作[40，60)，10：00～10：20记作[60，80)，10：20～10：40记作[80，100)，例如：10点04分，记作时刻64. (1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； (2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20～10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望； (3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数). 参考数据：若T～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<T≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<T≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<T≤μ＋3σ)≈0.997 4. 解：(1)这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04. (2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60)这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. (3)由(1)得μ＝64， σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324， 所以σ＝18，估计在9：46～10：4