第十章 第一节 两个计数原理、排列与组合（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第一节　 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 知识梳理 1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法． 2．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 3．排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，用符号C表示． 4．排列数、组合数的公式及性质 公 式 (1)A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝(n，m∈N＋，且m≤n). (2)C＝＝＝(n，m∈N＋，且m≤n). 规定：C＝1 性 质 (1) A＝1_；0！＝1；A＝n！． (2)C＝C；C＝C＋C 学霸笔记 1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 2．计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m). 3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． 进阶诊断 1．判断正误 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　×　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　√　　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　×　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　√　　) (5)若C＝C，则x＝m成立．(　　×　　) 2．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是(　　) A．5 B．6 C．11 D．30 答案：D 3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是(　　) A．24 B．48 C．64 D．81 答案：D 4．一个停车场有8个停车位，如果每个车位只能停放1辆汽车，现要停放4辆不同的汽车，不同停放方法的种数为(　　) A．70 B．1 440 C．1 680 D．1 880 答案：C　 5．现有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．若物理和化学至少有1门被选，则不同选法的种数为(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 答案：C 6．若C＝C＋C(n∈N＋)，则n＝________． 答案：5　解析：由C＝C＋C， 所以C＝C，又因为C＝C， 所以n－2＝3，即n＝5. 7．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有________种． 答案：125　解析：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步乘法计数原理可得，不同的选法有5×5×5＝125(种). 考点1　两个计数原理的应用　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　) A．250个 B．249个 C．48个 D．24个 C　解析：分两类：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个).由分类加法计数原理，得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个). 2．(多选)(2023·南通模拟)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是(　　) A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种 B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种 C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种 AC　解析：对于A，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第