第十章 第三节 随机事件的概率与古典概型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第三节　 理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 会用频率估计概率． 理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 知识梳理 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 定义 表示符号 样本空间 将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间 Ω 样本点 样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点 ω 有限样 本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间 Ω (2)随机事件 定义 随机事件 把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示 必然事件 样本空间Ω包含了所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件 随机事件A发生的频率与概率的区别与联系 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近． 2．随机事件的运算 含义 符号表示 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 对立事件 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 3．频率与概率 (1)频率的稳定性 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性． (2)频率稳定性的作用：可以用频率估计概率P(A). 4．古典概型 (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限； (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等． 5．古典概型的概率公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝. 随机事件A，B互斥与对立的区别与联系 当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥． 6．概率的性质 (1)对任意的事件A，都有P(A)≥0； (2)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (3)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； (4)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． (1)一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． (2)一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． (3)古典概型的概率公式： P(A)＝. 学霸笔记 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 2．频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计算公式 频率计算中的k，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一 个比值 古典概型的概率计算公式 是一个定值，对同一个随机事件而言，k，n都不会变化 3．常用结论 (1)频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． (3)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. (4)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 进阶诊断 1．判断正误 (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　×　　) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　√　　) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　×　　) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(　　×　　) 2．(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是(　　) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站