第十章 第二节 二项式定理（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节　 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识梳理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 C(k＝0，1，…，n) 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n． 二项展开式形式具有的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 学霸笔记 1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数部分，包含符号等，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n). 进阶诊断 1．判断正误 (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　　×　　) (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　√　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　×　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　√　　) 2．(2x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．26C B．－24C C．25C D．－25C 答案：D 3．(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 ABC　解析：∵(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，∴n＝7或n＝8或n＝9. 4．已知(＋)n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A．1　　　　 B．±1　　　　 C．2　　　　 D．±2 答案：C 5．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A. 40 B. 41 C. －40 D. －41 B　解析：令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1， 令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝＝81， 故a4＋a2＋a0＝＝41，B选项正确． 6．(x＋2y)·(x－y)5的展开式中x3y3的系数是________． 答案：10 考点1　求展开式中的特定项或特定项的系数　　　　　　　多维贯通 考向1　求二项展开式中的特定项 1．(2021·北京卷)(x3－)4的展开式中常数项是________． 答案：－4　解析：由二项式展开公式可得C·(x3)1·(－)3＝－4. 2．(2021·上海卷)已知二项式(x＋a)5展开式中，x2项的系数为80，则a＝________． 答案：2　解析：由二项式展开公式可得，Cx2a3＝80x2，解得a＝2. 3．(2023·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则的展开式中的常数项为________． 答案：4　解析：的通项公式为Tk＋1＝Cxn－k·＝Cxn－4k(k＝0，1，…，n)， 因为3≤n≤6，令n－4k＝0， 解得n＝4，k＝1， 所以的展开式中的常数项为C＝4. 求形如(a＋b)n（n∈N*）的展开式中与特定项相关的量（常数项、参数值、特定项等）的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来（注意符号不要出错）； 第二步，根据题目中的相关条件（如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数）先列出相应方程（组）或不等式（组），解出r； 第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量． 考向2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 4．(2020·全国卷Ⅰ)(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 C　解析：要求(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可．由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数