第六章 专题三 高考中的数列问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

专题三　高考中的数列问题

题型一　等差数列、等比数列基本量的运算

考向1　数列与数学文化

1．(2023·深圳模拟)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为(　　)

A．4.5尺     B．3.5尺

C．2.5尺     D．1.5尺

A　解析：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，设公差为d，

由题意得解得

所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，

所以a7＝11.5－7＝4.5，

即春分时节的日影长为4.5尺．

2．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(，)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)

A．4　　　　　　　　　　 B．5

C．6     D．7

C　解析：第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；以此类推，第n次操作去掉2n－1个长度为的区间，长度和为，∴进行了第n次操作后，去掉区间长度和Sn＝＋＋…＋＝＝1－()n，

由1－()n≥，得()n≤，

∴n≥log＝－log10＝－＝－≈5.68，

又n∈N*，∴n的最小值为6.

对于数学文化中所涉及的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验.

考向2　等差数列、等比数列的交汇

3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是(　　)

A．     B．

C．－26     D．58

A　解析：设公差不为零的等差数列{an}的公差为d，则有d≠0，因为a2，a8，a12依次成等比数列，a1＝1，所以有a＝a2a12，即(1＋7d)2＝(1＋d)(1＋11d)，整理得19d2＋d＝0，因为d≠0，所以d＝－，因此a4＝a1＋3d＝1－＝.

4．(2023·福建漳州模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a1＝1，a2＋a4＝10，

所以2a1＋4d＝10，

解得d＝2.

所以an＝2n－1.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2b4＝a5，

所以b1q·b1q3＝9.

又b1＝1，所以q2＝3.

所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.

则b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.

5．(2021·新高考卷Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值．

解：(1)设公差为d，

∵S5＝5a3＝a3，∴a3＝0，∴S4＝2(a2＋a3)＝2a2.

∵a2a4＝S4，∴a2a4＝2a2.