第六章 第三节 等比数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第三节　

通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．

探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．

能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．

体会等比数列与指数函数的关系．

知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).

(2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称G为a与b的等比中项，此时，G2＝ab.

 

(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0；(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如0，0，0，….

并不是任意两个实数都有等比中项，只有同号的两个非零实数才有等比中项．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0).

(2)前n项和公式：

Sn＝

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋).

(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a．

(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外).

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk．

(5)若Error!或Error!则等比数列{an}单调递增．

若Error!或Error!则等比数列{an}单调递减．

在等比数列{an}中，若ak·al＝am·an(k，l，m，n∈N*)，则不一定有k＋l＝m＋n成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．

学霸笔记

1．等比数列与指数型函数的关系

当q＞0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．

对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1).

由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．

对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B，其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件．

3．在数列{an}中，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

进阶诊断

1．判断正误

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　×　　)

(2)任意两个实数都有等比中项．(　　×　　)

(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　×　　)

(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　×　　)

2．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)

A．　　　　　　　　　 B．{log2a}　

C．{an＋an＋1}     D．{an＋an＋1＋an＋2}

答案：AD

3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期k∈(0，0.01)，那么在这期间人口数(　　)

A．呈上升趋势     B．呈下降趋势

C．摆动变化     D．不变

答案：A