第六章 第二节 等差数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节　

通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．

探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．

能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．

体会等差数列与一元一次函数的关系．

知识梳理

1．等差数列的概念

(1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列．

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．

2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d．

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝．

3．等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列．

学霸笔记

1．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

2．若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

3．若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

4．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

5．若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

6．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m，…分别为{an}的前m项和、前2m项和、前3m项和、…，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列．

7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，

＝.

(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，

S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.

8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

9．等差数列有关公式与函数的关系

(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．

(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

进阶诊断

1．判断正误

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　×　　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　√　　)

(3)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　×　　)

(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　√　　)

(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　　×　　)

2．(2023·山东青岛调研)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则数列{an}的通项公式an＝(　　)

A．n　　　　　　　　　 B．

C．2n－1     D．

B　解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋d＝3＋3d＝，解得d＝，

∴an＝1＋(n－1)×＝.

3．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　)

A．d<0