第五章 第四节 复数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第四节　

 

知识梳理

1．复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．

(2)复数的分类：

复数z＝a＋bi(a，b∈R)

(3)复数相等：

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：

a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

(5)复数的模：

向量的模称为复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).

(1)虚数不能比较大小；

(2)复数集包含实数集与虚数集

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).,\s\do4(　))

3．复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝－i(c＋di≠0).

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝，．

 

学霸笔记

(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，

z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，

＝，|zn|＝|z|n.

进阶诊断

1．判断正误

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　×　　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　×　　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　×　　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　√　　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　√　　)

2．复数的共轭复数是(　　)

A．i＋2    B．i－2    C．－2－i    D．2－i

答案：B

3．复数的虚部是(　　)

A．－1          B．1        C．i          D．－i

答案：B

4.当<m<1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

答案：D

5．(2021·上海卷)已知z＝1－3i，则|－i|＝________．

答案：　解析：∵z＝1－3i，∴＝1＋3i，∴－i＝1＋3i－i＝1＋2i，

∴|－i|＝＝.

6．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________．

答案：2＋i