第五章 第一节 平面向量概念与线性运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

 

第一节  平面向量概念与线性运算

通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．

理解平面向量的几何表示和基本要素．

借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．

通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．

了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．

知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量．

(4)共线向量：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定：零向量与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

向量概念的四点注意

(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．

2．向量的线性运算

 

 

向量线性运算的三点提醒

(1)两个向量的和仍然是一个向量；(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点；(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用.

3．共线(平行)向量基本定理

给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb.

学霸笔记

1．对于任意两个向量a，b，都有：

(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；

(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2).

当a，b不共线时，

(1)的几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；

(2)的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．

2．向量线性运算的常用结论

(1)在△ABC中，若D是BC的中点，

则＝(＋)；

(2)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；

(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2.

3．三点共线的条件

A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任意一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1.

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