第五章 第二节 平面向量基本定理与坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节　

 

理解平面向量基本定理及其意义．

借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．

会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．

能用坐标表示平面向量共线的条件．

知识梳理

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

(2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基．记作{e1，e2}．若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基，在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．

(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．

(3)如果对于一组基底，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．

(1)向量与坐标之间用等号连接．

(2)点的坐标，是在表示点的字母后直接加坐标．

(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定．

(4)a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.

3．平面向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．

(1)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔存在不全为零的x，y∈R，使xa＋yb＝0⇔x1y2－x2y1＝0.

学霸笔记

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为(，).

3．已知△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为(，).

进阶诊断

1．判断正误

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　×　　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　√　　)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　√　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝.(　　×　　)

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　√　　)

2．(多选)在下列各组向量中，不可以作为基底的是(　　)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－)

答案：ACD

3．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为(　　)

A．4　　　　B．－4　　　　C．2　　　　D．－2

答案：B