第五章 第三节 平面向量的数量积及综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第三节　

 

理解平面向量数量积的概念及其物理意义．

了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．

掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题．

知识梳理

1．向量的数量积

(1)定义

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°).|a||b|cos_θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos_〈a，b〉＝|a||b|cos θ.

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0．

s只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．

2．投影及数量积的几何意义

(1)投影向量

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影γ＝′，γ称为投影向量．

(2)投影数量

|a|cos_〈a，b〉称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·．

(3)向量的数量积a·b的几何意义：b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos_θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos_θ的乘积．

3．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(与数乘的结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(关于加法的分配律).

4．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

 (2)模：|a|＝＝.

(3)夹角：cos θ＝＝(|a||b|≠0).

(4)向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.

向量平行与垂直的坐标公式不要记混

5．平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

学霸笔记

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；

(3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；

(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立).

3．a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.

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