第四章 专题二 高考中的三角函数与解三角形问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

专题二　高考中的三角函数与解三角形问题 题型一　三角函数的图象和性质 (2023·山东潍坊模拟)在①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，②函数y＝f(x)的图象关于点P(，0)对称，③函数y＝f(x)的图象经过点Q(，－1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ(ω＞0，|φ|＜)最小正周期为π，且________，判断函数f(x)在(，)上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时x的值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin (ωx＋φ)， 由已知函数f(x)的周期T＝＝π，求得ω＝2， 所以f(x)＝sin (2x＋φ)， 若选①，则有2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－， 所以f(x)＝sin (2x－)， 当x∈(，)时，t＝2x－∈(，)， 所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1. 若选②，则有2×＋φ＝kπ(k∈Z)， 解得φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－， 所以f(x)＝sin (2x－)， 当x∈(，)时，t＝2x－∈(0，)， 所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1. 若选③，则有2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 解得φ＝2kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝1，φ＝， 所以f(x)＝sin (2x＋)， 当x∈(，)时，t＝2x＋∈(，)， 显然，函数f(x)在该区间上没有最大值． 解决三角函数图象与性质综合问题的思路 (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式． (2)把“ωx＋φ”看作一个整体，借助复合函数的性质求单调性、奇偶性、最值、对称性等问题． 　(2023·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin ＋＋b. (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)＝sin ＋＋b， 且函数f(x)的图象关于直线x＝对称， ∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，且ω∈[0，3]， ∴ω＝1.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)由(1)知f(x)＝sin ＋＋b. ∵x∈，∴2x＋∈. 当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈， 即x∈时，函数f(x)单调递减． 又f(0)＝f， ∴当f>0≥f或f＝0时，函数f(x)有且只有一个零点， 即sin ≤－b－<sin 或1＋＋b＝0， ∴b∈∪. 故实数b的取值范围为∪. 题型二　解三角形问题 (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 思维导引 学科素养 本题主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)利用正弦定理将已知等式统一成角的关系，再利用诱导公式、二倍角公式变形化简，解出的正弦值，从而得角B； (2)结合(1)及已知，把三角形的面积表示成关于a的函数，再利用正弦定理将a表示为关于tan C的函数，由锐角三角形及角B的大小，确定角C的范围，进而得解 解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sin ＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sin ＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ， 故cos ＝2sin cos . 因为cos ≠0，所以sin ＝，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°. 由(1)知A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以＜a＜2，从而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面积的取值范围是(，). 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式． (2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 　(2023·山东淄博模拟)在①＝；②2b sin A＝a tan B；③(a－c)sin A＋c sin (A＋B)＝b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加