第三章 第一节 导数的概念与运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第一节　 理解导数的概念及几何意义． 掌握导数的运算． 会使用导数公式求解导数． 知识梳理 1．导数的概念 (2)函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． 3．基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝ax_ln_a 特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos_x y＝cos x y′＝－sin_x y＝tan x y′＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R. 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)． 学霸笔记 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论 (1)()′＝－； (2)′＝－(f(x)≠0)； (3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x). 进阶诊断 1．判断正误 (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　×　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).(　　×　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(　　√　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　×　　) (5)函数f(x)＝sin (－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　×　　) 2．(多选)(2023·贵州毕节一中月考)下列导数的运算中正确的是(　　) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x ABD　解析：因为′＝，所以C项错误，其余都正确． 3．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案：D 4．曲线y＝x2＋在点(1，4)处的切线方程为______________． 答案：x＋y－5＝0 5．已知函数f(x)满足f(x)＝f′()sin x－cos x，则f′()＝________． 答案：＋1 6．已知函数f(x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R).若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝________，b＝________． 答案：1　2　解析：由f(x)＝(bx－1)ex＋a得f′(x)＝ex(bx＋b－1)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x. f′(0)＝1，f(0)＝0，即b－1＝1，－1＋a＝0， 解得a＝1，b＝2. 考点1　导数的计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·广东肇庆一中模拟)已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝(　　) A．－2sin 2x＋2e2x B．sin 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．－sin 2x＋e2x A　解析：f′(x)＝－2sin 2x＋2e2x，故选A. 2．(多选)(2023·山东济南调研)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A.f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x AC　解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求； 若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求； 若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝， 令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC. 3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________． 答案：1