第三章 第二节 导数与函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节　 了解函数的单调性与导数的关系． 能利用导数研究函数的单调性． 对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 知识梳理 1．函数的单调性与导数的关系 (1)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＞0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＜0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． (3)若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单 调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． (4)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)恒等于0，则在这个区间内，函数y＝f(x)为常数． 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 学霸笔记 1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 进阶诊断 1．判断正误 (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　×　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．(　　√　　) (3)若在区间(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在区间(a，b)内是减函数．(　　√　　) 2．函数f(x)＝sin x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　　　　 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 答案：D 3．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)＞f(c)＞f(d) B．f(b)＞f(a)＞f(e) C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(d)＞f(e) CD　解析：由题意得， 当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0， 所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数， 因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a). 当x∈(c，e)时，f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(c，e)上是减函数， 因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e). 4．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞)　解析：f′(x)＝3ax2＋6x－1， 由题意得解得a＞－3且a≠0. 所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞). 5．若函数f(x)＝sin x＋kx在(0，π)上是增函数，则实数k的取值范围为________． 答案：[1，＋∞)　解析：因为f ′(x)＝cos x＋k≥0，所以k≥－cos x，x∈(0，π)恒成立． 当x∈(0，π)时，－1<－cos x<1，所以k≥1. 考点1　不含参数的函数的单调性问题　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·辽宁大连模拟)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x B　解析：由于x＞0，对于A，f′(x)＝2cos 2x， f′＝－1＜0，不符合题意； 对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意； 对于C，f′(x)＝3x2－1，f′＝－＜0，不符合题意； 对于D，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－＜0，不符合题意． 2．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为________． 答案：(－π，－)和(0，)　解析：由已知，得f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x. 令f ′(x)＝x cos x>0，则其在区间(－π，π)上的解集为 {x|－π<x<－或0<x<}， 即f(x)的单调递增区间为(－π，－)，(0，). 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x) (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间