第三章 第三节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第三节　 掌握函数极值、最值的概念． 掌握求解函数的极值、最值的解题步骤． 能够求解关于函数极值、最值的综合问题． 知识梳理 1．函数的极值 (1)函数的极大值 若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b)内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值． (2)函数的极小值 若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递减，在区间(x0，b)内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． (1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定． (2)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 学霸笔记 1．函数极值与导数的关系 (1)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数极值与最值的关系 (1)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． (2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　√　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(　　×　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　×　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　√　　) 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．观察图象可知，其他点不存在极小值． 3．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 答案：BD 4．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－)∪(，＋∞)　解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(2a)2－4×3×2＞0， 解得a＞或a＜－. 5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，m的值为________． 答案：4 考点1　利用导数求函数的极值问题　　　　　　　　　　　多维贯通 考向1　根据函数的图象判断极值 (多选)(2023·重庆检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的极小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．－2是函数y＝f(x)的极大值点 AC　解析：根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确． 因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误． 根据函数的图象判断极值的方法　　 根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及在导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型． 　(2023·苏州新草桥中学月考)已知函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)内的极小值有(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A．1个 B．2个 C．3个