第三章 专题一 第三课时 利用导数研究函数的零点问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第三课时　利用导数研究函数的零点问题 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现． 考点1　函数零点个数的判断问题　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (2023·安徽五校联盟第二次联考)已知函数f(x)＝ln x＋＋1. (1)若函数f(x)在[1，e]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)讨论函数f(x)零点的个数． 思维导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)求出函数f(x)的定义域，由已知条件可得出f′(x)≥0对任意的x∈[1，e]恒成立，由参变量分离法得出a≤x对任意的x∈[1，e]恒成立，进而可求得实数a的取值范围； (2)由f(x)＝0可得出a＝－x ln x－x，设g(x)＝－x ln x－x，利用导数分析函数g(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数a在不同取值下，函数f(x)的零点个数 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)在[1，e]上单调递增， ∴f′(x)＝≥0在x∈[1，e]上恒成立， ∴a≤x对∀x∈[1，e]恒成立，∴a≤1. 因此，实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)由f(x)＝ln x＋＋1＝0， 可得a＝－x ln x－x，令g(x)＝－x ln x－x， 其中x＞0，则g′(x)＝－ln x－2. 令g′(x)＝0，可得x＝，列表如下： x (0，) (，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值 单调递减 作出函数g(x)与直线y＝a的图象如图所示， 当0＜x＜时，g(x)＝－x(ln x＋1)＞0； 当x＞时，g(x)＝－x(ln x＋1)＜0. 由图可知，当a≤0或a＝时，函数f(x)只有一个零点； 当0＜a＜时，函数f(x)有两个零点； 当a＞时，函数f(x)没有零点． 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)图象的草图，数形结合求解函数零点的个数； (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 　(2023·山东枣庄模拟)函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 解：(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋， f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2. (2)由题意知，g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0). 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1). 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， ∴x＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 结合y＝φ(x)的图象(如图)可知， ①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<时，函数g(x)有两个零点． 考点2　由函数零点个数求参数取值范围问题　　　　　　　　　讲练融通 (2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 思维导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)将a＝2代入求导，对分子因式分解后求解； (2)将曲线与直线交点个数转化为方程解的个数，再构造函数，将问题进一步转化为求函数的最大值问题 解：(1)当a＝2时，f(x)＝， 则f′(x)＝＝. ∴当x∈(0，)时，f′(x)＞0； 当x