第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节　 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝． 借助单位圆的对称性，利用定义推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan_α． (1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号． (2)商数关系的作用：弦切互化． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 学霸笔记 1．诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α(α≠＋kπ，k∈Z). 进阶诊断 1．判断正误 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1．(　　×　　) (2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　×　　) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　×　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　×　　) 2．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin (－x)＝sin x B．sin ＝cos x C．cos ＝－sin x D．cos (x－π)＝－cos x CD　解析：sin (－x)＝－sin x，故A不成立； sin ＝－cos x，故B不成立； cos ＝－sin x，故C成立； cos (x－π)＝－cos x，故D成立． 3．已知sin (π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan (2π－α)等于(　　) A．　　　　　　B．－ C． D．－ 答案：A 4．已知tan α＝－3，则的值为________． 答案： 5．化简：＋(α为第二象限角)＝________． 答案：－ 6．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为________． 答案：　解析：∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. 7．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________． 答案：{2，－2} 考点1　诱导公式及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．点A(sin 2 021°，cos 2 021°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　解析：sin 2 021°＝sin 221°＝－sin 41°＜0， cos 2 021°＝cos 221°＝－cos 41°＜0. 2．(2023·广东仲元中学月考)化简 的结果是(　　) A．－1 B．1 C．tan α D．－tan α C　解析：原式＝ ＝＝tanα. 3．(2023·山东枣庄模拟)已知sin ＝，则cos ＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　解析：因为sin ＝， 所以cos ＝sin ＝sin ＝. 1.利用诱导公式解题的一般思路 （1）化绝对值大的角为锐角； （2）角中含有±的整数倍时，用公式去掉的整数倍． 2.常见的互余和互补的角 提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错． 考点2　同角三角函数基本关系的应用　　　　　　　　　　多维贯通 考向1　知弦求切 (2021·福建福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)，则tan α＝________． 答案：－2　解析：因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)， 所以＋8＝0， 整理可得3cos2α－8cosα－3＝0， 解得cos α＝－或cos α＝3(舍去). 所以