第四章 第四节 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及简单应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第四节　 结合具体实例，了解y＝A sin （ωx＋φ）的实际意义． 能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 会用三角函数解决简单的实际问题． 知识梳理 1．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点． x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象的两种途径： 用“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的. 3．函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，左右平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，左右平移的量是个单位长度． 学霸笔记 1．函数的周期与图象的对称性之间的关系 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期． 2．对称轴(对称中心)与函数值之间的关系 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)，g(x)＝A cos (ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0，0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0. 进阶诊断 1．判断正误 (1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin (2x－)的图象．(　　×　　) (2)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　×　　) (3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).(　　√　　) (4)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　√　　) 2．y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π，　　　　　　 B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ C　解析：由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－. 3．为了得到函数y＝cos (＋)的图象，只需把余弦曲线上所有点(　　) A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的5倍 B．向右平移个单位长度，横坐标缩短到原来的倍 C．向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的5倍 D．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的倍 答案：A 4．y＝cos (x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________． 答案：　解析：相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为. 5．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为________． 答案：y＝2sin (2x－) 6．如图所示的图象显示的是某海湾相对平均海平面的水面高度y(单位：m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈[0，24]. 答案：y＝－6sin x 考点1　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式　　　　　　　　　讲练融通 (1)(2023·安徽芜湖一中模拟)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) (2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝________． (1)C　(2)－　解析：(1)依题意， 解得 故f(x)＝2cos (ωx＋φ)－1， 而f ＝1，f ＝－1， ∴＝－＝， 故T＝π＝，则ω＝2； ∴2cos －1＝1， 故＋φ＝2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，故φ＝－， ∴f(x)＝2cos －1. 将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝2cos －1， 再向左平移个单位长度， 得到g(x)＝2cos －1＝2cos －1， 令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)， 故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)设函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的周期为T.由题图可知T＝π－