第四章 第六节 正弦定理、余弦定理及应用举例（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第六节　 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 知识梳理 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C ＝＝＝2R 常见 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2R sin A，b＝2R_sin_B，c＝2R_sin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 3．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高). (2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A＝. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). 4．测量中的几个有关术语 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫作仰角，目标视线在水平视线下方叫作俯角(如图1). (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 5．解三角形应用题的常见步骤 学霸笔记 在△ABC中，常用以下结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中，大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 进阶诊断 1．判断正误 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　×　　) (2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　×　　) (3)在△ABC中，＝．(　　√　　) (4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　√　　) 2．在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝，则c＝(　　) A．　　　　　　　 B．19 C． D．39 答案：A 3．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案：D 4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 C　解析：由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝＞1. ∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．如图，A，B两点都在河的对岸，且A，B两点均不可到达，要测出A，B两点间的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km. 答案： 6．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________m. 答案：30＋10 　解析：如图所示，依题意∠ACE＝30°， ∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30， 由＝，得AE＝10， 所以AB＝(30＋10)m. 考点1　利用正弦、余弦定理解三角形　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 D　解析：由余弦定理，得cos 120°＝.化简得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－