第二章 第一节 函数的概念及表示（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第一节　 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识梳理 1．函数的概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 学霸笔记 1．函数的定义域和值域是非空数集． 2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题． 4．常见基本初等函数定义域的要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a>0，且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z} ． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　　×　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　×　　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.(　　×　　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点．(　　√　　) 2．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) C　解析：根据函数意义：对任意x值都有唯一确定的数y与之对应，只有C不满足． 3．(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x AC　解析：同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A，C满足． 4．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________． 答案：∪　解析：因为f＝＋，所以解得x≤1且x≠0， 故函数的定义域为∪. 5．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________． 答案：4 6．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，当x∈(－1.5，1.5]时，函数f(x)的解析式是____________． 答案：f(x)＝ 考点1　求函数的定义域　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·西北师大附中月考)已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(　　) A．(－∞，1)　　　　　　 B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(－∞，－1)∪(－1，1) D　解析：令1－2x>0，即2x<1，即x<0. ∴f(x)的定义域为(－∞，0). ∴函数中，有解得x<1且x≠－1. 故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1). 2．(2023·哈尔滨三中月考)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．(－12，0] C．(－12，0) D． B　解析：因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－12，0]. 3．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是________． 答案：(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足 即x＞0.所以函数的定义域为(0，＋∞). 4．(2023·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－2)的定义域为__________． 答案：(，1)　解析：∵f(x)的定义域为(－1，0)，由－1＜2x－2＜0，解得＜x＜1.∴函数f(2x－2)的定义域为(，1). 1.具体函数的定义域问题 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式（组）