第二章 第二节 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节 　 借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值和最小值． 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (1)单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． (2)单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2 ①>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，存在实数M，对所有的x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 学霸笔记 1．单调性的几个结论 在公共定义域内， (1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)单调递增． (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)单调递减． (3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增． (4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减． (5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (6)函数y＝f(x)(f(x)>0)与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．“对勾函数y＝x＋(a>0)”的单调性 “对勾函数y＝x＋(a>0)”的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]. 3．函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　×　　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　×　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　×　　) 2．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 答案：D 3．f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为(　　) A．3 B．1 C．2 D．4 答案：C 4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为____________． 答案：[－1，1]和[5，7] 5．(2023·安徽合肥八中调考)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案：[－1，1)　解析：由条件知 解得－1≤a＜1. 6．某汽车租赁公司的月收益y(单位：元)与每辆车的月租金x(单位：元)间的关系为y＝－＋162x－21 000，那么当每辆车的月租金为________元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是________元． 答案：4 050　307 050 考点1　判断函数单调性　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　　　　 B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上的单调性． (1)D　解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x