第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第三节　 

(1) 结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义．

(2) 结合三角函数，了解函数周期性的概念及几何意义．

知识梳理

1．函数的奇偶性

 

(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；

②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．

2．函数的周期性

(1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈A，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈A，都有x＋T∈A且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．

(2)最小正周期：在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称作函数y＝f(x)的最小正周期．

周期函数定义的实质

存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．

学霸笔记

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x，

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

3．函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．

进阶诊断

1．判断正误

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　×　　)

(2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0．(　　×　　)

(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　)

(4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　)

2．(多选)下列函数为奇函数的是(　　)

A．f(x)＝x4     B．f(x)＝x5

C．f(x)＝x＋     D．f(x)＝

答案：BC

3．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　)

A．－    B．－    C．    D．

C　解析：因为f(x)是定义域为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f＝f＝f＝．

4．(2023·江苏连云港期中)已知函数f(x)＝ax2＋bx－3a(x∈[a，2a＋1])是偶函数，则f(1)的值为________．