第二章 第四节 幂函数与二次函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第四节　 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 运用函数建立模型，解决简单的实际问题． 知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递_增； 在上单调递减 学霸笔记 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”； (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝x是幂函数．(　　√　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　　√　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　√　　) (4)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　√　　) 2．(多选)下列两个值的大小关系正确的是(　　) A．1.5>1.4　　　　　 B．(－1.5)2>(－1.4)2 C．(－1.5)3>(－1.4)3 D．－>－ 答案：ABD 3．幂函数f(x)＝ (a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 4．函数y＝x的大致图象是(　　) B　解析：由幂函数的性质可知，函数y＝x－的图象在(0，＋∞)上单调递减，故A，C错误；函数y＝x为偶函数，故D错误． 5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130 t－5t2，则该函数的定义域是____________． 答案：[0，26] 6．(2023·浙江杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________． 答案：5　解析：f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，所以f(x)在[1，a]上为减函数， 又f(x)的值域为[1，a]，所以 ∴解得a＝2或a＝1(舍去)，b＝5. 考点1　幂函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·山东临沂一中月考)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 D　解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1. 当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0. 综上可知，－1<n<0<m<1. 2．(2021·辽宁沈阳月考)若幂函数f(x)＝(3m2－2m)x3m的图象不经过坐标原点，则实数m的取值为(　　)　 A． B．－ C．－1 D．1 B　解析：由题意有3m2－2m＝1，解得m＝1或m＝－，当m＝1时，f(x)＝x3，函数图象过原点，不合题意；当m＝－时，f(x)＝x－1，函数图象不过原点，符合题意．故m＝－. 3．(2023·陕西宝鸡检测)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c B