第二章 第五节 指数与指数函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第五节　 (1) 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． (2) 了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． (3) 能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 知识梳理 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N＋. (2)式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am， 则称b为a的次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂． (2)负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝＝，这就是负分数指数幂． 3．无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定a－α＝. 4．指数幂的运算性质 aαaβ＝aα＋β；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α，β∈R). (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 5．指数函数及其性质 (1)定义：给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数，不是指数函数． 学霸笔记 1．图象问题 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1， ). (2)y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称． (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势．简记：撇增捺减． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　√　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　×　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　√　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．化简的结果为(　　) A．5 B． C．－ D．－5 B　解析：原式＝＝＝5× ＝5＝. 3．如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x的一个是(　　) A.① B．② C．③ D．④ 答案：B 4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　　) A． B． C．或2 D．或 答案：D 5．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________． 答案：(1，3) 考点1　指数幂的运算　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A.(－2)－2＝4　　　　　　 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ D　解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a)4＝，故D正确． 2．(2023·河北沧州一中月考)·(a>0，b>0)＝______． 答案：　解析：原式＝＝. 3．若x＋x＝3(x>0)，则＝________． 答案：　解析：由x＋x＝3， 两边平方得x＋x－1＝7， 再平方得x2＋x－2＝47， x＋x－＝＋＝(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18. ∴＝＝. 指数幂运算 考点2　指数函数的图象及应用　　　　　　　　　　　　讲练融通 (1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线