第二章 第六节 对数与对数函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第六节　 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 了解对数函数的概念及其单调性与特殊点． 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a>0，且a≠1）. 知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①＝N； ②logaab＝b(a>0，且a≠1). ③负数和零没有对数． ④loga1＝0(a>0，且a≠1). ⑤logaa＝1(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，b∈R，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMb＝blogaM． (3)换底公式：logab＝(a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1). 3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在定义域(0，＋∞)上是增函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 对称性：函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 学霸笔记 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2) ＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：＝N(a>0，且a≠1，N>0). 4．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数.(　　×　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　×　　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　√　　) 2．使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　) A．x>2　　　　　　 B．x<2 C．<x<2 D．<x<2，且x≠1 答案：D 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c C　解析：a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 4.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a>1　　　　　　　 B．0<c<1 C．0<a<1 D．c>1 答案：BC 5．计算：(log29)·(log34)＝__________． 答案：4　解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4. 6．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，)∪(1，＋∞) 考点1　对数运算　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(log29)(log32)＋loga＋loga(a)(a>0，且a≠1)的值为(　　) A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 B　解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga(×a)＝2×1＋logaa＝3. 2．(2021·甘肃兰州期中)设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　　) A． B．10 C．20 D．100 B　解析：因为2a