第二章 第八节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第八节　 了解函数零点与方程解的关系． 了解函数零点存在定理． 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 知识梳理 1．函数的零点 (1)概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 函数的零点的本质是方程f(x)＝0有实数解，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数解x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1仅有一个零点－1. 2．函数零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点个数的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x，0)，(x，0) (x，0) 无交点 零点个数 2 1 0 4．函数模型 函数 模型 指数型 函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型 函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数 型模型 y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0) 学霸笔记 1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上只有一个零点． 2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 进阶诊断 1．判断正误 (1)若函数f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　×　　) (2)用二分法可求所有函数的零点．(　　×　　) (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．(　　√　　) 2．(多选)(2023·陕西渭南模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2)　　 B．(2，3)　　 C．(5，6)　　 D．(5，7) BCD　解析：由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0， f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0， ∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内各至少有一个零点． 3．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　) A.至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 答案：D 4．(2023·湖北黄冈中学月考)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点． 5．若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________． 答案：∪(－，) 6．(2023·山东聊城一中月考)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________． 答案：(0，3)　解析：令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－， 即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点， 又φ(x)＝2x－在(1，2)上单调递增， 且φ(1)＝0，φ(2)＝3.所以0＜k＜3. 考点1　函数零点所在区间的判定　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(多选)(2023·山东菏泽一中质检)函数f(x)＝ex－x－2必有零点的区间为(　　) A．(－2，－1)