第一章 第二节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节　 常用逻辑用语 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 理解全称量词与存在量词的意义． 知识梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且qp (1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A. (2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误. 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 定义 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题 简记 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x具有性质p(x) 否定 ∃x∈M，x不具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 学霸笔记 1．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 2．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围). 3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”． 进阶诊断 1．判断正误 (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　√　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　√　　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　√　　) (4)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题．(　　√　　) (5)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　　√　　) 2．(2023·北京北师大实验中学月考)设p：x<3，q：<0，则p是q成立的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：由(x＋1)(x－3)<0得－1<x<3，即q：－1<x<3，显然{x|－1<x<3}{x|x<3}， 所以p是q成立的必要不充分条件．故选C. 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．任意实数的平方大于或等于0 B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称 C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3 D．存在一个无理数，它的立方是有理数 答案：ABD 4．命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定为________________________________________________________________________． 答案：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________． 答案：(－∞，2] 6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________． 答案：1　解析：∵函数y＝tan x在上是增函数， ∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1，∴m的最小值为1. 考点1　充分、必要条件的判断　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由sin2x＋cos2x＝1可得， 当sinx＝1时，cos x＝0，充分性成立； 当cos x＝0时，sin x＝±1，必要性不成立． 所以当x∈R，“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件．故选A. 2．(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件． 3．(2023·山东潍坊联考)已知a>0，则“aa>a3”是“a>3”的(　　) A．充