第一章 第三节 不等式性质与一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第三节　 理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识梳理 1．实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 2．不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇒a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 4 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 不可逆 5 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；a>b>0，c<d<0⇒ac<bd 不可逆 6 可开方性 a>b>0⇒> n∈N＋，n≥2 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立. 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 5．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)， |x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 解不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)时不要忘记a＝0时的情形． 学霸笔记 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0). 3．不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 进阶诊断 1．判断正误 (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变．(　　×　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　×　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　√　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　×　　) 2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M ＞N　　　　　 B．M ≥N C．M＜N D．M≤N 答案：A 3．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b B．> C．> D．ac3<bc3 ABC　解析：因为y＝x在(0，＋∞)上单调递增， 所以a＜b，A正确； 因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，B正确； 因为－＝>0，所以>，C正确； 当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确． 4．(2023·湖南师大附中模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________． 答案：－14　　解析：依题意知 解得∴a＋b＝－14. 5．(2023·江苏扬州中学月考)一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：(－4，0)　解析：依题意知即∴－4<a<0. 考点1　不等式的性质及应用　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a＋b＜ab；③＜2a－b中，正确的不等式有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C　解析：由b＜a＜0知|b|>|a|，a＋b＜0＜ab，而(a－b)2＞0，则有a2＋b2＞2ab，即＜2a－b，即②③都正确． 2．(多选)下列四个条件，能推出＜成立的有(　　) A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0 A