第二部分 第2章 方程,不等式与函数-2023年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 第2章 方程、不等式与函数 2.1 一元二次方程 现行初中数学教材主要要求学生掌握一 元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次 方程的根的判别式及根与系数的关系,在高中 教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节 有着许多应用. 2.1.1 一元二次方程根的判别式 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为 (x+ b 2a) 2 = b2-4ac 4a2 ①. 因为a≠0,所以4a2>0.于是: (1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一 个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2= -b± b2-4ac 2a ; (2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为 零,因此,原方程有两个相等的实数根x1=x2 =- b 2a ; (3)当b2-4ac<0时,方程①的右端是一 个负数,而方程①的左边 (x+ b 2a ) 2 一定大于 或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我 们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来 表示. 综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0),有: (1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实 数根x1,2= -b± b2-4ac 2a ; (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数 根x1=x2=- b 2a ; (3)当Δ<0时,方程没有实数根. 【例1】 判定下列关于x 的方程的根的情况 (其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方 程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3)x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 【解】 (1)∵Δ=(-3)2-4×1×3=-3<0, ∴方程没有实数根. (2)该方程根的判别式Δ=a2-4×1× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的 实数根,x1= a+ a2+4 2 ,x2= a- a2+4 2 . 42 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 (3)由于该方程根的判别式为Δ=a2-4 ×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,所以: ①当a=2时,Δ=0,方程有两个相等的 实数根x1=x2=1; ②当a≠2时,Δ>0,方程有两个不相等 的实数根x1=1,x2=a-1. (4)由于该方程根的判别式为Δ=(-2)2 -4×1×a=4-4a=4(1-a),所以: ①当Δ>0,即4(1-a)>0,即a<1时, 方程有两个不相等的实数根x1=1+ 1-a, x2=1- 1-a; ②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等 的实数根x1=x2=1; ③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根. 【说明】 在第(3),(4)小题中,方程的根的判 别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于 是,在解题过程中,需要对a 的取值情况进行 讨论,这一方法叫作分类讨论. 分类讨论这一思想方法是高中数学中一 个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地 运用这一方法来解决问题. 【例2】 已知关于x 的一元二次方程x2+2(m +1)x+m2-1=0. (1)若方程有实数根,求实数 m 的取值 范围; (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满 足(x1-x2)2=16-x1x2,求实数m 的值. 【解】 (1)根据题意可知:Δ=[2(m+1)]2- 4(m2-1)≥0,解得:m≥-1,∴实数 m 的取 值范围是:m≥-1; (2)根据根与系数的关系可知x1+x2= -2(m+1),x1·x2=m2-1.∵(x1-x2)2= 16-x1x2,∴(x1+x2)2-4x1x2=16- x1x2,即(x1+x2)2=16+3x1x2,∴[-2(m +1)]2=16+3(m2-1),解得m=1或-9,又 ∵m≥-1,∴m=-9不合题意舍去,∴m=1. 【说明】 (1)解答方程有实数根类问题时,利 用b2-4ac>0有两个不等实根,b2-4ac=0 有两个相等实根,b2-4ac<0没有实根,解答 时要注意二次项系数有分母时,方程是否是一 元二次方程;(2)对于方程两实数根问题,通常 利用根与系数关系找出x1+x2,x1x2的值,再 结合完全平方公式求解. 【例3】 已知关于x 的方程x2+ax+a-2 =0. (1)若该方程的一个根为1,求a 的值及 该方程的另一根; (2)求证:不论a 取何实数,该方程都有 两个不相等的实数根. 【解】 (1)已知1为原方程的一个根,则1+a +a-2=0. ∴a= 1 2 ,代回方程得:x2+ 1 2x- 3 2=0 (x-1)(x+ 3 2)=0 ∴x1=