第01讲 菱形的性质-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第01讲 菱形的性质 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理 一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 考点一：菱形的性质 例1．关于菱形，下列说法错误的是（ ） A．对角线垂直 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 例2．关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 例3．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A． 对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补 考点二：利用菱形的性质求角度 例4．如图，菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例5．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例6．如图所示，在菱形中，对角线与交于点，于点．若，则(      ) A． B． C． D． 例7．如图，在菱形中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 例8．如图，菱形，, 点是对角线上一点，点是边上一点，且，则的度数为（      ）     A． B． C． D． 考点三：利用菱形的性质求长度 例9．如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 例10．如图，在菱形中，周长为16，，则的长等于（    ） A． B．4 C． D．2 例11．如图，在菱形中，，，，垂足为点H，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 例12．如图，菱形的边长为10，，则点到的距离等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．1 例13．在菱形中，若，周长为16，则这个菱形的两条对角线长分别为（    ） A．2， B．4， C．4，4 D．， 考点四：利用菱形的性质求面积 例14．若菱形形的一条对角线长，另一条对角线，则它的面积是_____________． 例15．菱形的周长是，一个内角为，则菱形的面积为________． 例16．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，过作的平行线交的延长线于点，则的面积为_____________． 例17．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为5和12时，则阴影部分的面积为_____． 考点五：利用菱形的性质求坐标 例18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，且菱形边长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例19．如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则，两点的坐标为（    ） A．点），点 B．点，点 C．点，点 D．点，点） 考点六：利用菱形的性质证明 例20．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 例21．如图所示，在菱形中，对角线相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形 例22．如图，菱形中，E是对角线上的一点，连接、，求证：． 例23．如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求菱形的面积． 一、单选题 1．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(   ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 2．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（    ） A．40° B．60° C．80° D．100° 3．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面