第02讲 菱形的判定、判定与性质综合-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第02讲 菱形的判定、判定与性质综合 1. 掌握菱形的判定定理 2. 学会利用菱形的判定与性质综合解题 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 考点一：菱形的判定 例1．在下列条件中，能够判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 例2．如图，添加下列条件不能判定是菱形的是（    ）. A． B． C．平分 D． 例3．下列条件中能判断四边形是菱形的是（       ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相垂直且平分 C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分 例4．如图所示，四边形，当 ，时，再下列选项中，添加一个条件，使得四边形是菱形的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．有一个内角是直角 例5．在平行四边形中，添加下列条件，能判定平行四边形是菱形的是(    ) A． B． C． D． 例6．在平行四边形的对角线与相交于点O，，，，则四边形（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 例7．如图，在中，对角线、交于点O，请添加一个条件：____________，使平行四边形为菱形（不添加任何辅助线）． 例8．如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（    ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 考点二：利用菱形的判定与性质求长度、角度、面积 例9．如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 例10．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，连接 ，若 ，，则 的长为（      ） A． B． C． D． 例11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　） A． B．四边形面积不变 C． D．四边形周长不变 例12．如图，将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上，下列说法：①四边形为菱形，②，③若，则四边形的面积为，④，其中正确的说法有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 考点三：利用菱形的判定与性质解答证明 例13．如图，在中，，为的中点，，，交于点，连结，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积是________． 例14．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)判断四边形的形状，并进行证明； (2)若，，求四边形的面积． 例15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，，． (1)求证：四边形ADCE是菱形； (2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积． 例16．如图，的对角线，相交于点，点作的垂线，与，分别相文于点，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的面积是2，求的面积． 例17．如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，过点B作，，连接，，，线段交于点H． (1)若，求证：四边形为菱形； (2)在（1）问的基础上，若，，求四边形的面积． 一、单选题 1．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（    ） A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 2．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 3．（2021·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB． 求证：四边形DEBF是菱形． 5．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足