第一部分 夯实基础 三、 第九章 不等式与不等式组-2023年七年级下册初一数学【暑假复习培优】人教版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第九章 不等式与不等式组 1.基本概念. (1)用 表示大小关系的式子叫做 不等式. (2)使不等式成立的 叫做 不等式的解. (3)能使不等式成立的未知数的取值范 围,叫做不等式的解的集合,简称解集. (4)一般地,一个含有未知数的不等式的 所有的解,组成这个不等式的解集.求不等式 的解集的过程叫做解不等式. (5)含有一个 ,未知数的次数是 的不等式,叫做一元一次不等式. 2.不等式的性质. (1)不等式两边加(或减) , 不等号的方向不变. (2)不等式两边乘(或除以) , 不等号的方向 . (3)不等式两边乘(或除以) , 不等号的方向 . 3.解不等式的步骤. 去 ,去 , ,合并 ,系数 . 4.不等式组. (1)把两个一元一次不等式合起来,组成 一个一元一次不等式组. (2)几个不等式的解集的公共部分,叫做 不等式组的解集. 5.解不等式组. 解不等式组就是求它的解集. 解一元一次不等式组时,一般先求出各 ,再求出这些 .利用 可以直观地表示不等式组的解集. 6.列不等式(组)解决实际问题的步骤. ,设 ,找 ,列 ,解 ,检查 . 例1 如图,请任意选取一幅图,根据图 上信息,写出一个关于温度x(℃)的不等式: . 天气消息 今夜 晴 降水概率10% 偏北风四五级 最低气温-8℃ 洗涤说明 单独手洗浸泡30℃以 下水温 低 温 垫 布 熨 烫 不 超 过110℃ 悬挂晾干 解析:这是一道开放性试题,观察上图可 以发 现,其 中 有 三 个 与 温 度 有 关 的 不 等 关 系———最低气温-8℃,浸泡30℃以下,不超 过110℃,写不等式时,要应明确表示不等关 系的关键词的含义,如最低表示“≥”,以下表 45 第 一 部 分 夯 实 基 础 示“<”,不超过表示“≤”. 解:答案不唯一,如x≥-8(或x<30,或 x≤110) 点评:解答本题的关键是读懂图中的信 息,找出不等关系. 例2 若a<b<0,则下列式子:①a+1 <b+2;② a b>1 ;③a+b<ab;④ 1 a< 1 b 中,正 确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:根据不等式的基本性质可知a b>1 , a+1<b+2是正确的,由a<0,b<0可得a +b<ab也是正确的,如当a=-2,b=-1得 1 a> 1 b. 所以 1 a< 1 b 则是错误的. 解:选C. 点评:牢记不等式的性质是解决此类问题 的关键,此题除了用不等式的性质外,还可以 用特殊值排除法来解. 例3 解不等式:2(x-1)<3(x+1)- 2,并把它的解集在数轴上表示出来. 解析:本题可按照去括号、移项、合并同类 项,系数化成1,一步一步来解. 解:去括号,得2x-2<3x+3-2, 移项,得2x-3x<3-2+2, 合并,得-x<3, 系数化为1,得x>-3. 这个不等式的解集在数轴上表示如图. 点评:可以灵活运用求解不等式的步骤解 不等式. 例4 解不等式组 x+1≤2x, 5-x 2 >1 , ì î í ï ï ï ï 并写出它 的所有整数解. 解析:首先求出不等式组的解集,然后在 解集中取出所有整数解. 解:由x+1≤2x,得x≥1. 由5-x 2 >1 ,得x<3. ∴不等式组的解集是1≤x<3. 它的所有整数解为x=1,2. 点评:这类题目首先要求出解集,然后在 解集中找到整数解即可.有些题目可能要求自 然数解,非负整数解,其方法类似,只是在最后 取值时注意题目的要求即可. 例 5 已 知 关 于 x 的 不 等 式 组 x-a>0, 3-2x>0{ 的整数解共有6个,则a 的取值范 围是 . 解析:解不等式组,得a<x< 3 2 ,因为a <x< 3 2 中的整数解有6个,即-4,-3,-2, -1,0,1,所以a 的位置应该在-4和-5之 间,即-5≤a<-4. 解:a 的取值范围是-5≤a<-4. 点评:逆向推断字母的取值范围时,要特 别注意端点的确定,必要时还可以利用数轴. 例6 某商店在一次促销活动中规定:消 费者消费满200元或超过200元就可享受打 折优惠.一名同学为班级买奖品,准备买6本 影集和若干支钢笔.已知影集每本15元,钢笔 每支8元,问他至少买多少支钢笔才能打折? 解:设该同学至少买x 支钢笔. 根据题意得15×6+8x≥200. 解得x≥13 3 4. ∵x 为整数,∴x=14. 答:该同学至少要买14支钢笔才能打折. 55