第一部分 三、 第九章 多边形-2023年七年级下册初一数学【暑假复习培优】华东师大版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第九章 多边形 1.三角形的有关概念:(1)三角形:由不 在 上的三条线段首尾顺次相接所组 成的图形. (2)三角形的角平分线:在三角形中,一个 内角的平分线与它的对边相交,这个角的 与 之间的线段. (3)三角形的中线:在三角形中,连接一个 与它对边 的线段. (4)三角形的高:从三角形的一个顶点向 它对边所在的直线作 , 和 之间的线段. (5)三角形的高、角平分线、中线都是线 段,三角形的三条角平分线交于 ,三 条中线交于 ,三条高所在的 交于 . (6)按角分类,三角形可以分为 三角形、 三角形和 三角形. 2.三角形的有关性质:(1)三角形任意两 边之和 第三边,三角形任意两边之差 第三边. (2)三角形的内角和等于 ;直角 三角形的两个锐角 . (3)三角形 角的一边与另一边的 延长线组成的角,叫做三角形的外角. (4)三角形的一个外角等于与它 的两个内角之和. (5)三角形的一个外角大于与它 的 内角. 3.三角形具有稳定性:三角形三边的长 度固定以后,它的形状 改变,这称为 三角形的稳定性. 4.多边形及有关概念:(1)在平面内,由 一些不在 上的线段首尾顺次相接组 成的图形叫做多边形. (2)连接多边形 的两个顶点的线 段,叫做多边形的对角线. (3)各个角都 ,各条边都 的多边形叫正多边形. 5.多边形的内角和与外角和:(1)n 边形 内角和等于 .(2)多边形的外角和等 于 . 6.镶嵌:(1)用一些不重叠摆放的多边形 把平面的一部分完全覆盖,把这类问题叫做用 多边形覆盖平面(或平面镶嵌)问题.(2)常见 的镶嵌材料有两类:一类是规则的,如等边三 角形、正方形、长方形、平行四边形、正六边形 等;一类是不规则的,如任意三角形、任意四 边形. 例1 在△ABC 中,∠A=45°,H 是 △ABC 三条高的交点(H 不与B,C 重合), 则∠BHC= . 解析:①△ABC 是锐角三角形时,先根据 高线的定义求出∠ADB=90°,∠BEC=90°, 然 后 根 据 直 角 三 角 形 两 锐 角 互 余 求 出 ∠ABD,再根据三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得 解;②△ABC 是钝角三角形时,根据直角三角 形两锐角互余求出∠BHC=∠A,从而得解. 解:①如图1,△ABC 是锐角三角形时, ∵BD,CE 是△ABC 的 高 线,∴∠ADB= 24 第 一 部 分 夯 实 基 础 90°,∠BEC=90°, 在△ABD 中,∵∠A=45°,∴∠ABD= 90°-45°=45°∴∠BHC=∠ABD+∠BEC =45°+90°=135°. ②如图2,△ABC 是钝角三角形时,∵ BD,CE 是△ABC 的高线,∴∠A+∠ACE =90°,∠BHC+∠HCD=90°,∵∠ACE= ∠HCD(对 顶 角 相 等),∴ ∠BHC = ∠A =45°. 综上所述,∠BHC 的度数是135°或45°. 故答案为:135°或45°. 点评:本题的难点在于要分△ABC 是锐 角三角形与钝角三角形两种情况讨论,作出图 形更形象直观. 例2 三边都不相等且都是整数,周长为 24的三角形有 个. 解析:不妨设三角形三边为a,b,c,且a <b<c,由三角形三边关系定理及题设条件可 确定c的取值范围,以此作为解题的突破口. 解:设三角形三边为a,b,c,且a<b<c. ∵a+b+c=24,a+b>c, ∴a+b+c>2c,即2c<24,∴c<12,3c >a+b+c=24,∴c>8, ∴8<c<12,又∵c 为整数,∴c 为9, 10,11. ∵①当c为9时,有1个三角形,分别是: 9,8,7;②当c 为10时,有2个三角形,分别 是:10,9,5;10,8,6;③当c为11时,有4个三 角形,分别是:11,10,3;11,9,4;11,8,5;11, 7,6. ∴各边长互不相等且都是整数的三角形 共有7个.故答案为7. 点评:注意写出具体三角形的三边时,结 合已知条件做到不重复不遗漏. 例3 已知三角形的三条边长分别为a, b,c,化简代数式|a+b-c|-|a-b-c|. 解析:根据三角形三边满足的条件:两边 之和大于第三边,两边之差小于第三边,以此 来确定绝对值内的式子的正负,从而化简计算 即可. 解:|a+b-c|-|a-b-c|=a+b-c- (-a+b+c)=a+b-c+a-b-c=2a-2c. 点评:主要考查了三角形的三边关系,以 及绝对值的计算,