第一部分 一、 第二章 有理数-2023年七年级下册初一数学【暑假复习培优】华东师大版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第二章 有理数 1.有理数的概念 (1) 零的数是正数, 零 的数是负数, 既不是正数,也不是 负数. (2)有理数包括整数和分数,整数包括 、 、 ,分数包括 、 . (3)规定了 、 和 的直线叫做数轴. (4)只有 不同的两个数叫做互为 相反数. (5)数轴上表示数a的点与 的距 离叫做数a 的绝对值.一个正数的绝对值是它 ,一个负数的绝对值是它的 , 0的绝对值是 . (6)正数 0,0 负数,正数 负数.两个负数,绝对值大的 . 2.有理数运算法则与运算律 (1)同号两数相加,取 的符号,并 把绝对值相 ;绝对值不相等的异号两 数相加,取绝对值 的加数的符号,并 用较大的绝对值去 较小的绝对值,互 为相反数的两个数相加得 ;一个数同 0相加,仍得 . (2)加法交换律:a+b= ;加法 结合律:(a+b)+c= . (3)有理数减法法则:减去一个数,等于 这个数的 . (4)两数 相 乘,同 号 得 ,异 号 得 ,并把绝对值相 .任何数 同0相乘,都得 .乘积是 的两 个数,互为倒数.几个不是0的数相乘,负因数 的个数是 时,积是负数,负因数的个 数是 时,积是正数. (5)乘法交换律:ab= ;乘法结 合律(ab)c= ;乘法分配律:a(b+c) = . (6)除以一个不等于 的数,等于 乘这 个 数 的 ;两 数 相 除,同 号 得 ,异 号 得 ,并 把 绝 对 值 相 ;0除以任何一个不等于 的数,都得 . (7)求几个相同的因数的 的运 算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在an 中,a 叫做底数,n 叫做指数;负数的 幂是 负数,负数的 幂是正数.正数的任何 次幂都是 数,0的任何正整数次幂都 是 . (8)有理数的混合运算中,先 ,再 ,最后 ;同级运算,从 依次进行;如有括号,先做 里的运算,再 做 里的,最后做 里的. 例1 若a,b 互为相反数,c,d 互为倒 数,x 的绝对值等于2,试计算x2-(a+b+ cd)x+(a+b)2016+(-cd)2015的值. 解析:根据a,b 互为相反数可得a+b= 0;c,d 互为倒数可得cd=1;x 的绝对值等于 2可得x=±2,故需对x 的取值进行分类讨 论,从而求出所求的值. 解:因为a,b互为相反数,所以a+b=0; 4 第 一 部 分 夯 实 基 础 因为c,d 互为倒数,所以cd=1;因为x 的绝 对值等于2,所以x=±2. 所以x2-(a+b+cd)x+(a+b)2016+ (-cd)2015=x2-x-1, 当x=2时,x2-x-1=4-2-1=1, 当x=-2时,x2-x-1=4-(-2)-1 =5. 点评:绝对值等于正数的数有两个,故本 题需分类讨论. 例2 已知a>0,b<0,|a|>|b|.用“<” 把数a,b,-a,-b连接起来. 解析:因为a 是正数,b是负数,但它们都 不是具体数字,故可将它们用数轴上的点来表 示,再找出-a,-b对应的点,根据点的位置 来确定它们的大小. 解:因为a>0,b<0,|a|>|b|,所以a 是 正数,b是负数,并且表示数a 的点比表示数b 的点离开原点远,将数a、数b 及-a,-b 在 数轴上表示如下图. 所以-a<b<-b<a. 点评:利用数形结合的思想,借助数轴的 直观性,一些比较复杂或难解的问题往往可以 迎刃而解,注意解题时要绘图准确,识图抓住 对应关系. 例3 计算: (-2)3÷ -1 1 3 æ è ç ö ø ÷ 2 +3 1 2× - 1 6 æ è ç ö ø ÷-0.25. 解析:①式子的结构特点:不含括号的混 合运算,含有带分数、小数及除法;②运算顺 序:先乘方—后乘除—再加减(若为同级运算, 则按从左到右的顺序进行);③按已确定的顺 序,运用各级运算法则运算.为了使运算准确、 快速,应将式子中的带分数化为假分数,小数 化为分数,除法转化为乘法. 解:(-2)3÷ -1 1 3 æ è ç ö ø ÷ 2 +3 1 2× - 1 6 æ è ç ö ø ÷- 0.25 =(-2)3÷ - 4 3 æ è ç ö ø ÷ 2 + 7 2× - 1 6 æ è ç ö ø ÷- 1 4 =-8÷ 16 9+ 7 2× - 1 6 æ è ç ö ø ÷- 1 4 =-8× 9 16+