2023年广东中考数学题型分类——12大题——二次函数2——中档1

2023年广东中考题型分类 ——大题——二次函数（中档1） 资料编制说明： 1、 资料由个人编制，如有雷同，纯属巧合。 2、 题目主要来自2021-2023年广东（非广州、深圳）地区中考真题、模拟题，合计111套。比较适合北师大版的地区。 3、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 4、 单选、填空题一般按知识点、方法分类，大题一般按难易、篇幅长度分类。 1. （2023南海二模J01）已知二次函数yx2＋bx＋c的图象与x轴交于A（1，0）和B（-3，0），与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式． （2）如图1，连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值． （3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）y=x2+2x-3 （2）当△BDE为直角三角形时，求t的值为2或； （3）存在，点Q的坐标为（-1，）或（-1，） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可； （3）先求得抛物线的对称轴为x=-1，直线AC的解析式，证明Rt△FAH∽Rt△FQG，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把A（1，0）和B（-3，0）代入y=x2+bx+c得： ，解得， ∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-3； 【小问2详解】 解：令x=0，则y=-3， ∴C（0，-3）， ∴OB=OC=3，则△BOC是等腰直角三角形， ∴∠BOC=45°， 根据题意，AD=t，BD=4-t，BE=t， 当∠BDE=90°时，△BDE为直角三角形， 此时BE=BD，即t=(4-t) ， 解得：t=2； 当∠BED=90°时，△BDE为直角三角形， 此时BD=BE，即4-t =×t， 解得：t=； 综上，当△BDE为直角三角形时，求t的值为2或； 【小问3详解】 解：y=x2+2x-3= (x+1)2-4， ∴抛物线的对称轴为x=-1， 设直线AC的解析式为y=kx-3， 把A（1，0）代入得：k-3=0， ∴k=3， ∴直线AC的解析式为y=3x-3， 当x=-1时，y=-6， ∴抛物线的对称轴与直线AC的交点F的坐标为（-1，-6）， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则AH=2，FH=6，AF=， 过点Q作QG⊥AC于点G， 由题意知QH=QG，设QH=QG=n， ∴Rt△FAH∽Rt△FQG， ∴， 当点Q在原点上方时，FQ=6+n，当点Q在原点下方时，FQ=6-n， ∴或， 解得：n=或n= ∴点Q的坐标为（-1，）或（-1，）. 【点睛】本题是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．] 2. （2023年南海九江J07）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上． （1）求的值；（[endnoteRef:3]） （2）若一次函数与一次函数交于，且点关于原点的对称点为点．求过，，三点对应的二次函数表达式； （3）为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点． ①当四边形为菱形时，求点的坐标； ②若点横坐标为，当为何值时，四边形的面积最大？请说明理由． [3: 【答案】（1） （2） （3）①或；②当时，四边形的面积最大．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值； （2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可； （3）①求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标； ②当时四边形的面积最大，求出四边形的面积倍三角形的面积，求出点，的坐标，用含的代数式表示，求出的长即可． 【小问1详解】 解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上， 点坐标为， 点坐标为， 点在一次函数的图象上， ， ； 【小问2详解】 解：由方程组，解得， 点坐标为， 又点为点关于原点的对称点， 点坐标为， 一次函数与轴交于点， 点坐标为， 设二次函数对应的函数表达式为， 把，，三点的坐标分别代入，得，解得， 二次函数对应函数表达式为； 【小问3详解】 ①当四边形为菱形时，， 直线对应的函数表达式为， 直线对应的函数表达式为． 联立方程组． 解得或， 点坐标为或；