11.4.2 平面与平面垂直（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

11.4.2　平面与平面垂直 [学习任务] 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直. 3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题. [对应学生用书第75页] 知识点一　二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念 （1）这条直线称为二面角的棱. （2）这两个半平面称为二面角的面. 3.画法 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角C－l－D或二面角C－AB－D. 5.二面角的平面角：（1）若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. （2）二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角. [思考]　二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关系吗？为什么？ [提示]　没有关系.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A'O'B'，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关. 知识点二　平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直. （2）画法： （3）记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒β⊥α 图形语言 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）平面α与平面β分别过相互垂直的直线，则α⊥β. （×） （2）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β. （×） （3）应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化. （√） 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 2.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β. （×） （2）若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β. （√） （3）若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β. （√） [对应学生用书第77页] 探究一　面面垂直的判定 [例1]　如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°， SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. [证明]　方法一：（利用定义证明） ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC. 令其长为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角. 在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a， ∴SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2， ∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角， 故平面ABC⊥平面SBC. 方法二：（利用判定定理） ∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， ∴SA＝AB＝AC， ∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. ∵△SBC为直角三角形， ∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， ∴AD⊥平面SBC. 又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC. 　　证明面面垂直的方法 （1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角. （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”. （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 证明　（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F， 所以直线DE∥平面A1C1F. （2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1