1.3 一元二次方程的根与系数的关系（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.3一元二次方程的根与系数的关系 The relationship between roots and coefficients of quadratic equations with one variable 苏科版九年级上册第1章一元二次方程 教学目标 01 探索一元二次方程的根与系数的关系及其逆用，并证明 02 掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能够应用这种关系解决问题 一元二次方程的根与系数的关系 知识精讲 问题引入 01 Q1【知识回顾】： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式： （2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况： x=(b²-4ac≥0) ①当Δ>0时，有两个不相等的实数根； ②当Δ=0时，有两个相等的实数根； ③当Δ<0时，没有实数根． 一元二次方程的根与系数还有其他关系吗？ 知识精讲 问题引入 01 Q2：完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？ x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-3x+2=0 1 2 x2+3x+2=0 -1 -2 x2-5x+6=0 2 3 x2+5x+6=0 -2 -3 x2-3x=0 0 3 x1+x2 x1·x2 3 2 -3 2 5 6 -5 6 3 0 两根的和与一次项系数互为相反数 两根的积与常数项相等 知识精讲 问题引入 01 【总结】 若x2+px+q=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=p，x1·x2=q． 知识精讲 问题引入 01 Q3：方程2x2-5x-3=0的两根是x1=3，x2=-，这两根的和、两根的积与系数有什么关系？ x1+x2=≠一次项系数 x1·x2=-≠常数项 二次项系数是2，一次项系数是-5，常数项是-3， (-5)÷2=- (-3)÷2=- 【猜想】 两根的和与互为相反数，两根的积与相等． 知识精讲 问题引入 01 Q4：求出方程3x2-7x+4=0的解，并验证这个方程的根与系数的关系是否符合Q3中的猜想． 【解答】 (3x-4)(x-1)=0， 3x-4=0或x-1=0， ∴x1=，x2=1． x1+x2 x1·x2 符合猜想： 若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2， 则x1+x2=-，x1·x2=． x1+x2 x1·x2 - 知识精讲 问题引入 01 【证明猜想】若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，则x1+x2=-，x1·x2=． 【证明】 在ax2+bx+c=0(a≠0)中，若Δ=b2-4ac≥0， 则它的两个根分别是x1=，x2=， ∴x1+x2=+==-， x1·x2=·===． 02 知识精讲 1.韦达定理： 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，x1+x2=-，x1·x2=． 特别地： 方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，x1+x2=p，x1·x2=q． 一元二次方程的根与系数的关系 注意： x1+x2=-的负号不要掉！！！！！！！． 02 知识精讲 一元二次方程的根与系数的关系 2.使用前提： 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的有两个实数根，即Δ=b2-4ac≥0． 知识精讲 知识精讲 02 【探究1】不解方程，完成下列表格： Δ=b2-4ac x1+x2 x1·x2 x2-2x-3=0 16>0 2x2-x-10=0 4x2+17x+4=0 4x2-4x+1=0 x2+4x+5=0 Δ=b2-4ac x1+x2 x1·x2 x2-2x-3=0 16>0 2 -3 2x2-x-10=0 81>0 -5 4x2+17x+4=0 225>0 - 1 4x2-4x+1=0 0 1 x2+4x+5=0 -4<0 × × 再次强调： 韦达定理的使用前提 ——Δ=b2-4ac≥0 知识精讲 知识精讲 02 【探究2】继续不解方程，完成下列表格： x1+x2 x1·x2 x12+x22 |x1-x2| x2-2x-3=0 2 -3 2x2-x-10=0 -5 4x2+17x+4=0 - 1 4x2-4x+1=0 1 x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2 x12+x22 10 |x1-x2| 4 0 |x1-x2|= 知识精讲 知识精讲 02 【探究3】已知ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和5，两根之积是6，则原方程可能为__________________． 【分析】 ∵ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和5，两根之积是6， ∴-=5，=6， ∴b=-5a，c=6a， ∴原方程为ax2-5ax+6a=a