专题二十五 几何探究题-【考点大观】2023年全国中考数学真题分类一卷通

　　 专题二十五 几何探究题　专项训练 类型１　特殊———一般———拓展 １．（２０２２·仙桃）已知 ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＣ，ＢＣ上，ＡＤ＝ｍ，ＢＤ＝ｎ，△ＡＤＥ与△ＢＤＦ的面积之和为Ｓ． （１）填空：当∠ＡＣＢ＝９０°，ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ时， ①如图１，若∠Ｂ＝４５°，ｍ 槡＝５２，则ｎ＝　　　　，Ｓ＝　　　　； ②如图２，若∠Ｂ＝６０°，ｍ 槡＝４３，则ｎ＝　　　　，Ｓ＝　　　　． （２）如图３，当∠ＡＣＢ＝∠ＥＤＦ＝９０°时，探究 Ｓ与 ｍ，ｎ的数量关 系，并说明理由． （３）如图４，当∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＥＤＦ＝１２０°，ｍ＝６，ｎ＝４时，请直接 写出Ｓ的大小． （第１题图） ２．（２０２２·铜仁）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于 点Ｏ，记△ＣＯＤ的面积为Ｓ１，△ＡＯＢ的面积为Ｓ２． （１）问题解决：如图１，若ＡＢ∥ＣＤ，求证： Ｓ１ Ｓ２ ＝ＯＣ·ＯＤＯＡ·ＯＢ． （２）探索推广：如图２，若ＡＢ与ＣＤ不平行，（１）中的结论是否成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （３）拓展应用：如图３，在 ＯＡ上取一点 Ｅ，使 ＯＥ＝ＯＣ，过点 Ｅ作 ＥＦ∥ＣＤ交ＯＤ于点Ｆ，点Ｈ为ＡＢ的中点，ＯＨ交ＥＦ于点Ｇ， 且ＯＧ＝２ＧＨ，若ＯＥＯＡ＝ ５ ６，求 Ｓ１ Ｓ２ 的值． （第２题图） 类型２　学习方法，应用方法 ３．（２０２２·黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师 给他这样一个几何问题： 如图１，△ＡＢＣ和△ＢＤＥ都是等边三角形，点Ａ在ＤＥ上． 求证：以ＡＥ，ＡＤ，ＡＣ为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】（１）小明通过探究发现：连接 ＤＣ，根据已知条件，可 以证明ＤＣ＝ＡＥ，∠ＡＤＣ＝１２０°，从而得出△ＡＤＣ为钝角三角形， 故以ＡＥ，ＡＤ，ＡＣ为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】（２）如图２，四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＢＧＦＥ都是正方 形，点Ａ在ＥＧ上． ①试猜想：以ＡＥ，ＡＧ，ＡＣ为边的三角形的形状，并说明理由； ②若ＡＥ２＋ＡＧ２＝１０，试求出正方形ＡＢＣＤ的面积． （第３题图） ·７７· 类型３　发现基本图形，利用基本图形 ４．（２０２２·河南）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数 学活动． （１）操作判断 操作一：对折矩形纸片 ＡＢＣＤ，使 ＡＤ与 ＢＣ重合，得到折痕 ＥＦ，把纸片展平； 操作二：在ＡＤ上选一点Ｐ，沿ＢＰ折叠，使点Ａ落在矩形内部 点Ｍ处，把纸片展平，连接ＰＭ，ＢＭ． 根据以上操作，当点 Ｍ在 ＥＦ上时，写出图１中一个３０°的 角：　　　　． （２）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片 ＡＢＣＤ按照（１）中的方式操作，并延长 ＰＭ交 ＣＤ于点Ｑ，连接ＢＱ． ①如图２，当点Ｍ在ＥＦ上时，∠ＭＢＱ＝　　　　°，∠ＣＢＱ＝ 　　　　°； ②改变点 Ｐ在 ＡＤ上的位置（点 Ｐ不与点 Ａ，Ｄ重合），如图 ３，判断∠ＭＢＱ与∠ＣＢＱ的数量关系，并说明理由． （３）拓展应用 在（２）的探究中，已知正方形纸片 ＡＢＣＤ的边长为８ｃｍ，当 ＦＱ＝１ｃｍ时，直接写出ＡＰ的长． （第４题图） ５．（２０２２·赤峰）同学们还记得吗？图１、图２是人教版八年级下册 教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的 启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： 【问题一】如图１，正方形 ＡＢＣＤ的对角线相交于点 Ｏ，点 Ｏ又是 正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｏ的一个顶点，ＯＡ１交 ＡＢ于点 Ｅ，ＯＣ１交 ＢＣ于点 Ｆ，则ＡＥ与ＢＦ的数量关系为　　　　． 【问题二】受图１启发，兴趣小组画出了图３：直线ｍ，ｎ经过正方 形ＡＢＣＤ的对称中心Ｏ，直线ｍ分别与ＡＤ，ＢＣ交于点Ｅ，Ｆ，直线 ｎ分别与ＡＢ，ＣＤ交于点Ｇ，Ｈ，且ｍ⊥ｎ，若正方形ＡＢＣＤ的边长为 ８，求四边形ＯＥＡＧ的面积． 【问题三】受图２启发，兴趣小组画出了图４：正方形 ＣＥＦＧ的顶 点Ｇ在正方形 ＡＢＣＤ的边 ＣＤ上，顶点 Ｅ在 ＢＣ的延长线上，且 ＢＣ＝６，ＣＥ＝２．在直线ＢＥ上是否存在点Ｐ，使△ＡＰＦ为直角三角 形？若存在，求出ＢＰ的长度；若不存在，说明理由． （第５题图） 类型４　探索运动过程中得到的结论 ６．（２０２２·青岛）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ ＝３ｃｍ，将△ＡＢＣ绕点Ａ按逆时针方向旋转９０°得到△ＡＤＥ，连接 ＣＤ．点 Ｐ从点 Ｂ出发，沿 ＢＡ方向匀速运动、速度为１ｃｍ／ｓ；同 时，点Ｑ从点Ａ出发，沿ＡＤ方向匀速运动，速度为１ｃｍ／ｓ．ＰＱ交 ＡＣ于点Ｆ，连接ＣＰ，ＥＱ，设运动时间为ｔ（ｓ）（０＜ｔ＜５）．解答下列 问题： （１）当ＥＱ⊥