04 平面的基本事实与推论 小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高一下学期数学人教B版必修第四册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1. 在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与GH能相交于点P,那么 (　 ) A.点P不在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面ABC内 D.点P必在平面ABC外 2.如图E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA 的中点,若BD=2,AC=4,则EH与FG的位置关系是　　　　, 四边形EFGH的周长为　　　　.  3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 正方形BB1C1C与正方形ABB1A1的中心, 则直线C1F与D1E的位置关系为 4. 如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点, 则直线A1P与平面ABCD是否相交?为什么?直线D1P呢? 5.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列四个结论中正确的有(　 ) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线AM与BN平行 D.直线A1M与BN共面 6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,延长D1D至P, 使得DD1=DP,经过点A1,C1,P作正方体的截面, 则截面图形的周长为　　　　.  参考答案： 1. C 提示：在空间四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上, 所以E∈平面ABC,F∈平面ABC,则直线EF⊂平面ABC, (基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。)同理,直线GH⊂平面ADC,因为EF,GH能相交于点P, 即P∈EF,P∈GH,所以P∈平面ABC,P∈平面ADC, 又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC. (基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。) 2.平行　6　 提示： 连接BD,AC, E,H分别是AB,DA的中点, ∴EH∥BD且EH=BD,同理FG∥BD且FG=BD, ∴EH=FG=BD=1,且EH∥FG. 同理EF=GH=AC=2, 3.异面 提示：根据已知条件E,F分别是正方形BB1C1C与 正方形ABB1A1的中心,则E,F分别为BC1,A1B的中点, (连结BC1，BA1),在平面BC1A1中(基本事实1： 经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。), C1F⊂平面BC1A1.因为D1∉平面BC1A1,E∈平面BC1A1, E∉C1F,所以直线C1F与D1E异面. (教材中异面直线的一种判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面。). 4. 相交, 相交 提示：判断直线与平面是否相交，关键在于有没有公共点。 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点, ∴四边形ABPA1是梯形, ∴AB与A1P相交.AB⊂平面ABCD, A1∉平面ABCD, ∴直线A1P与平面ABCD相交. 可以证明D1PBD是梯形，同理可证D1P与平面ABCD相交 5.BD 提示：根据异面直线的判定方法知直线AM与CC1、 直线BN与MB1都是异面直线；经过A,B,M三点的平面, 即平面ABC1D1，所以直线AM与BN是异面直线； M,N分别为C1 D1, CC1中点，(两个中点应该想到中位线) 连接A1B,MN,D1C，所以MN∥D1C,由正方体的性质可知A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1D1CB是平行四边形,所以D1C∥A1B,所以MN∥A1B,所以M,N,A1,B四点共面。 6.+　 提示：A1和P两点都在平面ADDA内,连结A1P,与棱AD交于点 M(M是AD中点),同理, 连结C1P,与棱CD交于点N(N是CD中点), 连接MN,A1C1,如图所示,截面MNC1A1即为所求. 附1： 异面直线的判定方法 异面直线是空间两条直线的一种重要的位置关系，它对空间想象能力有一定的要求。要学会如何判定两直线异面。 基础知识：“与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面。” 以第3题为例详细地运用上述基础知识判断二条直线异面。 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是正方形BB1C1C与正方形ABB1A1的中心,则直线C1F与D1E的位置关系为 。 第1种就是提示所给的。先找E,F,C1三点确定的平面，(选择这三点确定的平面，是因为它们所确定的平面经过直线C1F与直线D1E的一点E。若想判定两直线异面，只要判断点D1不在这个平面内即可。) 第2种可以选择D1,C1,E三点确定的平面(当然也可以是直线D1C1和点E确定的平面)，