第01讲 勾股定理-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（北师大版）

第01讲 勾股定理 1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法； 会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系； 3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 考点一：一直直角三角形的两边，求第三边长 例1．（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（　　） A．10 B．2 C．2 D．4.8 【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（　　） A． B．12 C．9 D．8 【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（　　） A．13 B．119 C．169 D．119或169 考点二：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题 例2.（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　） A．7 B．5 C．25 D．1 【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（　　） A．13 B．17 C．7 D．169 【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（　　） A．18 B．48 C．65 D．72 【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 　 cm2． 考点三：等面积法求直接斜边上的高问题 例3.（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　） A．6 B． C． D． 【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A．6 B．8 C．13 D． 【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 考点四：作无理数的线段 例4.（2022八上·兴平期中）如图，是直角三角形，点C在数轴上对应的数为，目，，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（　　） A．0.4 B． C． D． 【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点表示的数为，则（　　） A． B．-1 C． D． 【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（　　） A． B．﹣1 C．1 D．﹣1 考点五：勾股定理的证明 例5.勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理． 【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若，