第03讲 勾股定理的应用-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（北师大版）

第03讲 勾股定理的应用 1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。 2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． 知识点1：勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 类型二、应用勾股定理解决旗杆高度 类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度 类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 类型六、应用勾股定理解决航海问题 类型七、应用勾股定理解决河的宽度 类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题 类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题 类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题 类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 知识点2 ：平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 例1．（2023春•潮阳区校级期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙（BO）6米 （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？ 【变式1】（2023春•北辰区期中）如图梯子斜靠在竖直的墙AO，AO长为24dm，OB为7dm． （1）求梯子AB的长； （2）梯子的顶端A沿墙下滑4dm到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长． 考点二：应用勾股定理解决旗杆高度 例2．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？ 【变式2-1】如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度． 【变式2-2】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 考点三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 例3．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）． 【变式3】（2020秋•亭湖区校级期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米． 考点四：应用勾股定理解决大树折断前的高度 例4．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺） 【变式4-1】（2023春•沙河口区期中）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度是（　　） ​​ A．4m B．5m C．8m D．9m 【变式4-2】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 考点五：应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 例5．（2022秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米． 【变式5-1】（2022秋•任城区期中）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，求水深是多少cm？ 【变式5-2】小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁竖直放置吸管，露在外面部分厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底部是直径为8厘米的圆，请你求出吸管的长度. 考点六：应用勾股定理解决航海问题 例6．（2023春•思明区校级期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船以30海里/时的速