微专题1-2 四边形的动态问题-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

微专题1-2——四边形的动态问题 导图先学 边讲边练 动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而探索出一些变化过程中的函数关系的问题或存在性问题。是近几年中考的一个热点类问题。主要包括求解线段长度、线段比例、周长、面积等函数关系；或在运动过程中产生的一些特殊图形、图形关系等问题。解题时要善于观察运动过程中的不变性。 解决动态几何问题的三步曲： 1．用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动速度或某条线段长）； 2．分析运动停止条件，求出自变量取值范围； 3．分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类讨论标准。 题型1：四边形的最小值问题 【例】（2022•南京模拟）如图，在中，，，，点是上的一动点，过点分别作，，垂足为，，则的最小值为　　 A．5 B．4.8 C．3 D．2.4 【变式1】（2022•赤峰）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上．，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是　　 A．3 B．5 C． D． 【变式2】（2022春•韶关期末）如图，在边长为4的正方形中，点、分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为　　 A．8 B． C． D． 【变式3】（2022•天津模拟）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足分别为点、，连接，则线段的最小值等于多少　　 A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．不确定 题型2：四边形的最大值问题 【例】如图，，矩形的顶点，分别在边、上，当在边上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离为　　 A． B． C． D． 【变式1】如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，． ①　 　； ②在整个的运动过程中，点到点的最大距离为 　 　． 【变式2】（2022春•广水市月考）在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题：“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形不复存在（即三顶点共线）． 例：如图1，，矩形的顶点，分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是多少？ 分析：如图1，取的中点，连接，，则中，为待求线段，，的长是可求的，即为待求线段的“关联三角形”，在中利用三角形三边关系定理可以得到的不等式，当点，，三点共线时（如图，“关联三角形”不存在，此时可得到的最值． （1）根据上面的分析，完成下列填空： 解：如图1，取的中点，连接，． 在中，， 在中，， 在中，，即　 　， 如图2，当点，，三点共线时，　　 ， 综上所述：，即点到点的最大距离是 　　 ． （2）如图3，点在第一象限，是边长为2的等边三角形，当点在轴的正半轴上运动时，点随之在轴的正半轴上运动，运动过程中，点到原点的最大距离是 　　 ． （3）如图4，点，是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，试求长度的最小值． 题型3：四边形的动态问题中的函数关系 【例】（2023•蜀山区模拟）如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形的两边分别交于点，（点在点的上方），若的面积为，直线的运动时间为秒，则能大致反映与的函数关系的图象是　　 A． B． C． D． 【变式1】如图，在等腰中，长为的线段在等腰的边上沿方向以1厘米秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点、分别作边的垂线，与等腰的其它边交于、两点．线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．则大致反映与变化关系的图象是　　 A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形中，，为对角线上的动点，交折线于点，设，的面积为，则与的函数图象正确的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2022秋•大连月考）如图，矩形顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，、两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒，和矩形重叠部分的面积为． （1）当　 　时，的边经过点； （2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 题型4：因运动产生的特殊图像 【例】（2022春•江阴市校级月考）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得