八年级上册分章复习 第十五章 分 式-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】人教版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十五章 分 式 1.分式 一般地,如果A,B 表示两个整式,并且 B 中含有 ,那么式子 A B 叫做分式. 2.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以) 整式,分式的值不变. 3.分式的运算 (1)乘法:分式乘分式,用分子的积作为 积的分子,分母的积作为积的分母. (2)除法:分式除以分式,把除式的分子、 分母颠倒位置后,与被除式相乘. (3)乘方:分式乘方要把分子、分母分 别 . (4)加减法:①同分母分式相加减,分 母 ,把分子 ; ②异分母分式相加减,先通分,变为 ,再 . 4.整数指数幂 am·an= ,(am)n= (ab)n= ,am÷an= (a≠0) a0= (a≠0),a-n= (a≠0,n 为正整数) 5.分式方程 (1)定义:分母中含 的方程叫做 分式方程. (2)解分式方程的步骤:①方程两边同乘 ,把分式方程化为 ;②解这 个整式方程,求出未知数的值;③验根,将整 式方程的解代入 ,如果最简公分母 的值不为0,则整式方程的解是原分式方程 的解,否则,这个解不是原分式方程的解. (3)应用:按列方程解应用题的一般思路 求解即可,只是要注意检验时,既要检验结果 使实际问题有意义,又要验证是否为原方程 的根. 例1 若分式 2x-4 x+1 的值为0,则x 的值 为 . 解析:由题意可知,当2x-4=0且x+1 ≠0时,分式 2x-4 x+1 的值为0,解得x=2. 答案:2 评注:分式的值等于0的条件是分式的 分子为零而分母不为零. 例2 下列各式从左到右的变形正确的是 ( ) A. x- 1 2y 1 2x+y = 2x-y x+2y B. 0.2a+b a+0.2b= 2a+b a+2b C.- x+1 x-y = x-1 x-y D. a+b a-b= a-b a+b 解析:由分式的基本性质:分式的分子与 分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分 式的值不变.因为B,C,D都违背了分式的基 本性质,只有 A 符合要求(分子、分母都乘 2). 答案:A 评注:解答本题的关键是要熟练掌握分 式基本性质的常见应用形式. 例3 计算 x2-1 x ÷ x2+x x2 +1. 32 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:由分式的运算法则可知:本题按照 “先乘除后加减”的运算顺序解答. 答案:x 2-1 x ÷ x2+x x2 +1= x2-1 x · x2 x2+x+1 = (x-1)(x+1) x · x 2 x(x+1)+1 =x-1+1=x 评注:分式运算的关键是掌握分式约分、 通分的方法. 例4 先化简:( a2-4 a2-4a+4- 2 a-2) ÷ a2+2a a-2 ,再 对 a 取 一 个 你 喜 欢 的 数 代 入 求值. 解析:先将分式进行化简,选择a 的值 时要保证分式有意义,如a 可以取1代入 求值. 答案:原式= a a-2 · a-2 a(a+2)= 1 a+2. 取a=1,则原式= 1 1+2= 1 3. 评注:本题是开放性试题,解答时,要先 按常规化简,然后选择一个适当的数值代入, 同时 要 注 意 考 虑 使 分 式 有 意 义 和 运 算 的 方便. 例5 解方程: 2x+1 x + 1 3x=1. 解析:按照解分式方程的解题步骤来解, 在去分母时,要注意右边不含分母的项1不 能漏乘. 答案:解:方程两边同乘3x,得3(2x+ 1)+1=3x, 解得x=- 4 3. 经检验,x=- 4 3 是原方程的根, ∴原方程的根为x=- 4 3. 评注:检验是解分式方程必不可少的重 要一步,千万不要忘记. 例6 我国“八纵八横”铁路骨干网的 第八纵 通 道———温(州)福(州)铁 路 全 长 298千米.预计从福州直达温州的火车行 驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间 缩短2小时.已知福州至温州的高速公路 长331千米,火车的设计时速是现行高速 公路上汽车行驶时速的2倍.求通车后火 车从福州直达温州所用的时间(结果精确 到0.01小时). 解析:本题中有两个等量关系:①火车的 设计时速=现行高速公路上汽车行驶时速的 2倍;②火车行驶时间=高速公路上汽车的 行驶时间-2,结合本题设问,我们可以选择 等量关系①来列方程,然后解方程即可. 答案:解:设通车后火车从福州直达温州 所用的时间为x 小时. 依题意,得298 x =2× 331 x+2. 解这个方程,得x= 149 91. 经检验x= 149 91 是原方程的解. x= 149 91≈1.64. 答:通车后火车从福州直达温州所用的