八年级上册分章复习 第十四章 整式的乘法与因式分解-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】人教版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十四章 整式的乘法与因式分解 1.幂的有关运算性质 (1)同底数幂的乘法:am·an= (m,n 都是正整数). (2)幂的乘方:(am)n= (m,n 都是正整数). (3)积的乘方:(ab)n= (n 为正 整数). (4)同底数幂的除法:am÷an= (a≠0,m,n 都是正整数,并且m>n).特 别地,当m=n 时得 (a≠0). 2.整式的乘法 (1)单 项 式 与 单 项 式 相 乘:把 它 们 的 、 分别相乘,对于只在一 个单项式里含有的字母,则连同它的指数作 为积的一个因式. (2)单项式与多项式相乘:就是用单项式 去 乘 多 项 式 的 每 一 项,再 把 所 得 的积 . (3)多项式与多项式相乘:先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把 所得的积 . 3.乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)= . 完全平方公式:(a+b)2= , (a-b)2= . 4.整式的除法 (1)单项式相除:把 与 分别相除作为商的因式,对于只在被除式里 含有的字母,则连同它的指数作为商的一个 因式. (2)多项式除以单项式:先把这个多项式 的每一项除以这个单项式,再把所得的商 相加. 5.因式分解 把一个多项式化成几个整式的 , 这种式子的变 形 叫 做 把 这 个 多 项 式 因 式 分解. 6. 因式分解的基本方法 (1)提公因式法. (2)运用公式法. 常用公式有:a2-b2= ,a2+ 2ab+b2= ,a2-2ab+b2= . 例1 下列运算正确的是 ( ) A.a2∙a3=a4 B.(-a)4=a4 C.a2+a3=a5 D.(a2)3=a5 解析:根据同底数幂的乘法,底数不变, 指数相加,选项A是错误的;根据乘方法则, 一个负 数 的 偶 次 幂 是 正 数,选 项B是 正 确 的;选项C中的两个整式不是同类项,不能 合并,因此C是错误的;根据幂的乘方法则, 底数不变,指数相乘,选项D是错误的. 答案:B 评注:解答本题的关键是熟记整式运算 的有关法则. 例2 先化简,再求值:(a-2)(a+2)- a(a-2),其中a=-1. 解析:先做整式乘法运算,然后做整式的 加减运算. 答案:原式=a2-4-a2+2a 91 第 一 部 分 夯 实 基 础 =2a-4. 当a=-1时, 原式=2×(-1)-4=-6 评注:本题是一道化简求值题,解答时一 定要先化简,要避免直接代入运算的错误. 例3 在边长为a 的正方形中挖去一个 边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余 下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个 图形中阴影部分的面积相等,可以验证 ( ) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 解析:由图甲可知阴影部分的面积等于 大正方形的面积与小正方形的面积之差,即 a2-b2,由图乙可知,矩形的长为a+b,宽为 a-b,所以矩形的面积为(a+b)(a-b),根 据阴影部分的面积不变,所以a2-b2=(a+ b)(a-b),从而验证了平方差公式. 答案:C 评注:将整式乘法公式的验证融合在几 何图形中,既加强了知识的直观性,又很好地 展示了数形结合思想的优越性. 例4 计算:(a2b)2÷a= . 解析:先根据积的乘方计算,然后根据整 式除法法则运算. (a2b)2÷a=a4b2÷a=a3b2. 答案:a3b2 评注:本题是幂的运算与整式除法混合 运算,解答本题的关键是正确理解运算顺序. 例5 给出三个整式a2,b2和2ab. (1)当a=3,b=4时,求a2+b2+2ab 的值; (2)在上面的三个整式中任意选择两个 整式进行加法或减法运算,使所得的多项式 能够因式分解.请写出你所选的式子及因式 分解的过程. 解析:解答本题包括两个步骤:一是加法 运算,二是因式分解.根据这个解题步骤,选 择其中两个单项式进行组合即可. 答案:(1)当a=3,b=4时,a2+b2+ 2ab=(a+b)=49; (2)答案不唯一.例如,若选a2,b2,则 a2-b2=(a+b)(a-b);若选a2,2ab,则 a2±2ab=a(a±2b). 评注:本题是一道开放型问题,学生根据 题目的要求可以尽情地展示自己的解题风 采,激发了学生的解题兴趣. 一、填空题 1.利用公式计算(x+1)(x-1)(x2+1) = = . 2.M 和N 表示单项式,且3x(M-5x) =6x2y3+N,