八年级上册分章复习 第十二章 全等三角形-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】人教版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十二章 全等三角形 1. 全等形和全等三角形 (1)能够完全 的两个图形叫做 全等形. (2)能够完全 的两个三角形叫 做全等三角形. 2. 三角形全等的条件 (1)三边对应 的两个三角形全 等(SSS). (2)两边和它们的 对应相等的 两个三角形全等(SAS). (3)两角和它们的 对应相等的 两个三角形全等(ASA). (4)两个角和其中一个角的 对 应相等的两个三角形全等(AAS). (5)斜边和 对应相等的两个直 角三角形全等(HL). 3. 全等三角形的性质及应用 (1)全等三角形的对应边 ,对应 角 . (2)通过全等三角形证明有关的线段 ,角 ,线 . (3)可以根据全等三角形作三角形和解 决实际问题. 4. 角的平分线 (1)角的平分线上的点到角的两边的距 离 . (2)到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 的 点 在 上. 例1 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC 上取一点 E,使EC=BC,过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F,若 EF=5cm,则 AE= cm. 解析:因 为 CD⊥AB,EF⊥AC,所 以 ∠ACD+∠A=∠ACD+∠F=90°,所 以 ∠A=∠F,又∠ACB=90°,∠CEF=90°, EC=BC,所以Rt△ABC≌Rt△FCE,所以 EF=CA,因为EF=5cm,BC=2cm,所以 AE=AC-EC=5-2=3(cm). 答案:3 评注:解答本题的关键是把求线段长度 的问题转化为全等三角形性质问题来求解. 例2 如图所示,AB=DB,∠ABD= ∠CBE,请你添加一个适当的条件 , 使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可) 解析:由题中已知条件可知一组对应边 相等和 一 组 对 应 角 相 等,所 以 可 以 考 虑 用 “ASA”或“SAS”或“AAS”来添加条件证明. 如①用“ASA”,需添加∠D=∠A,②用 “SAS”,需添加BE=BC,③用“AAS”,需添 01 第 一 部 分 夯 实 基 础 加∠C=∠E. 答案:∠D=∠A 或BE=BC 等 评注:解“条件补充型”证明题的基本思 路是:执果索因,逆向思维,逐步解析,探索结 论成立的条件,即可得出正确答案. 例3 如图,在方格纸中,△PQR 的三 个顶点及A,B,C,D,E 五个点都在小方格 的顶点上.现以A,B,C,D,E 中的三个点为 顶点画三角形. (1)在图1中画出一个三角形与△PQR 全等; (2)在图2中画出一个三角形与△PQR 面积相等但不全等 . 解析:(1)先判断△PQR 的形状和各边 长,然后利用格点的性质和全等三角形的判 定方法 构 建 所 求 三 角 形,如 图1-①,图1- ②;(2)根据等底等高的三角形面积相等,先 找到一条相等的边,再根据网格线的平行关 系构建相等的高,如图2-①,图2-②. 评注:本题是一道以网格为背景的试题, 解答本题的关键是借助线段在网格线的特 征,可以通过数网格得到线段的长度. 例4 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, AD 是∠BAC 的平分线,DC=2,则 D 到 AB 边的距离是 . 解析:根据角的平分线的性质可知,D 到AB 边的距离等于D 到AC 边的距离CD 的长度. 答案:2 评注:解决此类问题的关键是利用角平 分线的性质“角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等”,把求 D 到AB 边的距离转 化为求D 到AC 边的距离. 例5 如图,小强利用全等三角形的知 识测量池塘两端 M,N 的距离,如果△PQO ≌△NMO,则只需要测出其长度的线段是 ( ) A.PO B.PQ C.MO D.MQ 解 析:由 已 知 条 件 可 知 △PQO ≌ △NMO ,根据全等三角形的对应边相等,得 PQ=MN,所以PQ 的长就是池塘两端M, N 的距离,所以要测出其长度的线段是PQ. 答案:B 评注:解答本题的关键是巧妙地借助两 个三角形全等的性质,寻找所求线段与已知 线段之间的等量关系. 一、填空题 1.已知下图中的两个三角形全等,则 ∠α的度数是 . 11 第 一 部 分 夯 实 基 础 2.如图所示,有①,②,③三个直角三角 形,其中全等的两个直角三角形是 . 3.如图,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于 点A,点Q 是射线OM 上的一个动点,若PA =4,则PQ 的最小值为 . 第3题 第4题 4.如 图,已 知 AB =AE,∠BAD = ∠CAE,要使△ABC≌△AED,还需添加一 个